Julekalender - luke 16

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$

Bilde
Gjest

[quote="plutarco"]Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$



mener du buen PB og buen BQ?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Nei, jeg mener linjestykket mellom punktene P og B, osv.
Gjest

antar det har noe med ortogonale sirkler, rettvinklet trekant osv..
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Ingen som løser denne?

Kan røpe at $\angle PAQ=90^\circ$, og at punktene $P,B$ og $Q$ ligger på linje (fra Thales' setning).
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

plutarco skrev:Figuren viser sirklene $C_1$ og $C_2$ med diametre $AP$ og $AQ$ og arealer $A_{C_1}$ og $A_{C_2}$. Sirklene skjærer hverandre i punktene $A$ og $B$, og linja $PA$ tangerer sirkel $C_2$ i punkt $A$.

Vis at $\frac{PB}{BQ}=\frac{A_{C_1}}{A_{C_2}}$

Bilde
La $[ABC]$ denotere arealet til $\triangle ABC$. Det holder å vise at brøkener er lik kvadratet av forholdet mellom diameterne: Siden $P,B$ og $Q$ er kollineære, er
\[ \frac{PB}{BQ}=\frac{[ABP]}{[QBA]},\]
og dette forholdet er lik kvadratet av lengdene til to korresponderende sider i trekantene, for eksempel $AP$ og $AQ$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott :D
Svar