matematikk.net

Bevis at for alle heltall [tex]n[/tex], kan ikke utrykket $\frac{21n+4}{14n+3}$ faktoriseres ytterligere

Har at [tex]gcd(a,b)=1[/tex] ==> relativt primiske


[tex]Teller=21n+4=14n+7n+3+1[/tex]
[tex]Nevner:14n+3[/tex]

[tex]gcd(teller,nevner)=gcd\left ( 21n+4,14n+3 \right )=gcd\left ( 14n+7n+3+1,14n+3 \right )=gcd(14n+3,7n+1)[/tex]

Videre oppspalting gir oss at [tex]14n+3=14n+2+1=2(7n+1)+1[/tex]
[tex]gcd(21n+4,14n+3)=gcd(14n+3,1)=1[/tex]

q.e.d

Drezky skrev:Har at [tex]gcd(a,b)=1[/tex] ==> relativt primiske


[tex]Teller=21n+4=14n+7n+3+1[/tex]
[tex]Nevner:14n+3[/tex]

[tex]gcd(teller,nevner)=gcd\left ( 21n+4,14n+3 \right )=gcd\left ( 14n+7n+3+1,14n+3 \right )=gcd(14n+3,7n+1)[/tex]

Videre oppspalting gir oss at [tex]14n+3=14n+2+1=2(7n+1)+1[/tex]
[tex]gcd(21n+4,14n+3)=gcd(14n+3,1)=1[/tex]

q.e.d

Fint =)

Alternativt ser vi at $3(14n+3)-2(21n+4)=1$. Hvis $p|14n+3$ og $p|21n+4$ må $p|1$, så brøken kan ikke forkortes.

Hvis jeg ikke tar totalt feil nå, er ikke dette en av de første IMO-oppgavene noen sinne?

mingjun skrev:Hvis jeg ikke tar totalt feil nå, er ikke dette en av de første IMO-oppgavene noen sinne?

Jo erik den kom "relativt" tidlig

stensrud skrev:

mingjun skrev:Hvis jeg ikke tar totalt feil nå, er ikke dette en av de første IMO-oppgavene noen sinne?

Jo erik den kom "relativt" tidlig

Jo, den første noensinne faktisk Nivået var litt annerledes den gang som en kanskje ser, heh