matematikk.net

La $\lfloor x \rfloor$ være gulvfunksjonen definert som det største heltallet mindre enn eller lik $x$. F.eks. er $\lfloor 5.2 \rfloor = 5$, $\lfloor 1.9 \rfloor = 1$, $\lfloor 10.0 \rfloor = 10$ osv.

Finn summen $\lfloor \sqrt{1 } \rfloor+\lfloor \sqrt{2 } \rfloor+\lfloor \sqrt{ 3} \rfloor+\lfloor \sqrt{4 } \rfloor+\cdots + \lfloor \sqrt{ 48} \rfloor+\lfloor \sqrt{ 49} \rfloor+\lfloor \sqrt{50 } \rfloor$

>2 = sqrt(1) - sqrt(3) = 3*1
>3 = sqrt(4) - sqrt(8) = 5*2
>4 = sqrt(9) - sqrt(15) = 7*3
>5 = sqrt(16) - sqrt(24) = 9*4
>6 = sqrt(25) - sqrt(35) = 11 *5...
>7 = sqrt(36) - sqrt(48) = 13 * 6
>8 = sqrt(49) - sqrt(50) = 2*7

3 + 10 +21 +36 +55 +78 +14 = 215

Tenkte óg som Fysikkmann, men fikk summen 217. Litt hjertekjærende bruk av likhetstegn i forklaringen din, Fysikkmann, men tror du bare summerte litt feil helt til slutt der

ja, godt mulig det.

217 er selvsagt korrekt

Prøver meg på en oppfølger:

La [tex]k[/tex] være et kvadrattall. Finn et generelt uttrykk for summen

$\lfloor \sqrt{1 } \rfloor+\lfloor \sqrt{2 } \rfloor+\lfloor \sqrt{ 3} \rfloor+\lfloor \sqrt{4 } \rfloor+\cdots + \lfloor \sqrt{ k-1} \rfloor + \lfloor \sqrt{k } \rfloor$

Litt interessert i om sammenhengen jeg så faktisk stemmer generelt, så svarer på min egen oppfølgning i håp om at noen smartinger kan verifisere at det stemmer:

Observerer, f.eks. fra Fysikkmanns kladd over, at vi har et system der vi summerer produktet av de naturlige tallene og et tilhørende oddetallet. Siden vi ønsker å inkludere [tex]\sqrt{k}[/tex], leder dette oss til følgende sum

[tex]S = \sqrt{k} + \sum^{\sqrt{k}-1}_{n=1} n( 1+2n) = \sqrt{k} + \sum^{\sqrt{k}-1}_{n=1} n + 2 \sum^{\sqrt{k}-1}_{n=1} n^2 = \sqrt{k} + \frac{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}-1+1)}{2}+ 2 \left ( \frac{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}-1+1)(2 (\sqrt{k}-1)+1)}{6} \right) \overset{\sqrt{k} = p}{=} \frac{4p^3 -3p^2+5p}{6}[/tex]

Ser riktig ut dette!