Funksjonalligning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $f(2^x+2y)=2^yf(f(x))f(y)$ for alle $x,y\in\mathbb{R}$.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

(Dette ble litt langt, så jeg mistenker at jeg har gått glipp av enklere fremgangsmåter et par steder.)

Vi skal vise at de eneste slike funksjonene er $f(x)=0$ og $f(x)=2^x$. Setter vi $y=0$ får vi at
\begin{align} f(2^x)=f^2(x)f(0). \end{align}
Anta først at $f(0)=0$. Da uttrykket over at $f(x)=0\ \forall x\in \mathbb{R}^+$. Setter vi $x=0$ og $y=-2^{z-1}$ får vi at
\[ f(1-2^z)=2^{-2^{z-1}}f^2(0)f(y)=0\implies f(1-2^z)=0 \ \forall z,\]
som impliserer at $f(x)=0$ for alle reelle $x$.


Anta så at det finnes en $y$ slik at $f(y)=0$. Da vil
\[ f(2^x+2y)=0 \quad \forall x\implies f(x)=0 \quad \forall x>2y .\]
Med andre ord vil $f$ sende alle store nok $x$ til $0$. For å vise at alle andre $z\in \mathbb{R}$ også avbildes på $0$, kan vi fiksere en $z$, og velge $x$ latterlig stor, slik at både $f(x)$ og $f(2^x+2z)=0$. For alle $z$ vil da
\[ 0=f(2^x+2z)=2^zf^2(x)f(z)=2^zf(0)f(z) .\]
Hvis $f(0)=0$ vil $f(x)=0$ for alle $x$, slik som vi viste ovenfor. Hvis ikke er $f(z)=0$ for alle $z$, og uansett tilfelle er $f(x)=0$ for alle $x$ her også.


Men hva hvis $0\not\in \mathrm{im} \ f$? Da gir $(1)$ oss at $f^2(x)=f(2^x)/f(0)$, siden $f(0)$ ikke kan være $0$. Setter vi $y=-2^{x}$ i den originale likningen får vi den nye identiteten
\begin{align} f(-2^x)=2^{-2^x}f^2(x)f(-2^x). \end{align}
Dette betyr at
\begin{align}
f^2(x)=2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og setter vi inn $f(2^x)/f(0)$ for $f^2(x)$ ender vi opp med
\begin{align}
f(-2^x)\left(2^{2^x}f(0)-f(2^x)\right)=0 \quad \forall x.
\end{align}
Dette impliserer $f(2^x)=2^{2^x}$ for alle $x$, eller bare $f(u)=2^u$, for alle positive $u$. Setter vi dette inn i $(1)$ ser vi at
\begin{align}
f^2(x)=\frac{1}{f(0)}2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og kombinerer vi dette med $(3)$, må $f(0)=1$. Nå trenger vi kun én innsetting til: Sett $(x,-2^{x-1})$ inn for $(x,y)$, slik at vi får
\begin{align*}
f(0) &= 2^{-2^{x-1}}f^2(x)f(-2^{x-1})\\
\iff 1 &=2^{-2^{x-1}}\cdot 2^{2^x}f(-2^{x-1})\\
\iff 2^{-2^{x-1}} &= f(-2^{x-1}),
\end{align*}
som betyr at $f(x)=2^x$ for alle negative $x$ også. Derfor har funksjonallikningen kun to mulige løsninger, og ved å sette inn kan vi verifisere at begge faktisk funker.
Svar