Funksjonalligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
(Dette ble litt langt, så jeg mistenker at jeg har gått glipp av enklere fremgangsmåter et par steder.)
Vi skal vise at de eneste slike funksjonene er $f(x)=0$ og $f(x)=2^x$. Setter vi $y=0$ får vi at
\begin{align} f(2^x)=f^2(x)f(0). \end{align}
Anta først at $f(0)=0$. Da uttrykket over at $f(x)=0\ \forall x\in \mathbb{R}^+$. Setter vi $x=0$ og $y=-2^{z-1}$ får vi at
\[ f(1-2^z)=2^{-2^{z-1}}f^2(0)f(y)=0\implies f(1-2^z)=0 \ \forall z,\]
som impliserer at $f(x)=0$ for alle reelle $x$.
Anta så at det finnes en $y$ slik at $f(y)=0$. Da vil
\[ f(2^x+2y)=0 \quad \forall x\implies f(x)=0 \quad \forall x>2y .\]
Med andre ord vil $f$ sende alle store nok $x$ til $0$. For å vise at alle andre $z\in \mathbb{R}$ også avbildes på $0$, kan vi fiksere en $z$, og velge $x$ latterlig stor, slik at både $f(x)$ og $f(2^x+2z)=0$. For alle $z$ vil da
\[ 0=f(2^x+2z)=2^zf^2(x)f(z)=2^zf(0)f(z) .\]
Hvis $f(0)=0$ vil $f(x)=0$ for alle $x$, slik som vi viste ovenfor. Hvis ikke er $f(z)=0$ for alle $z$, og uansett tilfelle er $f(x)=0$ for alle $x$ her også.
Men hva hvis $0\not\in \mathrm{im} \ f$? Da gir $(1)$ oss at $f^2(x)=f(2^x)/f(0)$, siden $f(0)$ ikke kan være $0$. Setter vi $y=-2^{x}$ i den originale likningen får vi den nye identiteten
\begin{align} f(-2^x)=2^{-2^x}f^2(x)f(-2^x). \end{align}
Dette betyr at
\begin{align}
f^2(x)=2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og setter vi inn $f(2^x)/f(0)$ for $f^2(x)$ ender vi opp med
\begin{align}
f(-2^x)\left(2^{2^x}f(0)-f(2^x)\right)=0 \quad \forall x.
\end{align}
Dette impliserer $f(2^x)=2^{2^x}$ for alle $x$, eller bare $f(u)=2^u$, for alle positive $u$. Setter vi dette inn i $(1)$ ser vi at
\begin{align}
f^2(x)=\frac{1}{f(0)}2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og kombinerer vi dette med $(3)$, må $f(0)=1$. Nå trenger vi kun én innsetting til: Sett $(x,-2^{x-1})$ inn for $(x,y)$, slik at vi får
\begin{align*}
f(0) &= 2^{-2^{x-1}}f^2(x)f(-2^{x-1})\\
\iff 1 &=2^{-2^{x-1}}\cdot 2^{2^x}f(-2^{x-1})\\
\iff 2^{-2^{x-1}} &= f(-2^{x-1}),
\end{align*}
som betyr at $f(x)=2^x$ for alle negative $x$ også. Derfor har funksjonallikningen kun to mulige løsninger, og ved å sette inn kan vi verifisere at begge faktisk funker.
Vi skal vise at de eneste slike funksjonene er $f(x)=0$ og $f(x)=2^x$. Setter vi $y=0$ får vi at
\begin{align} f(2^x)=f^2(x)f(0). \end{align}
Anta først at $f(0)=0$. Da uttrykket over at $f(x)=0\ \forall x\in \mathbb{R}^+$. Setter vi $x=0$ og $y=-2^{z-1}$ får vi at
\[ f(1-2^z)=2^{-2^{z-1}}f^2(0)f(y)=0\implies f(1-2^z)=0 \ \forall z,\]
som impliserer at $f(x)=0$ for alle reelle $x$.
Anta så at det finnes en $y$ slik at $f(y)=0$. Da vil
\[ f(2^x+2y)=0 \quad \forall x\implies f(x)=0 \quad \forall x>2y .\]
Med andre ord vil $f$ sende alle store nok $x$ til $0$. For å vise at alle andre $z\in \mathbb{R}$ også avbildes på $0$, kan vi fiksere en $z$, og velge $x$ latterlig stor, slik at både $f(x)$ og $f(2^x+2z)=0$. For alle $z$ vil da
\[ 0=f(2^x+2z)=2^zf^2(x)f(z)=2^zf(0)f(z) .\]
Hvis $f(0)=0$ vil $f(x)=0$ for alle $x$, slik som vi viste ovenfor. Hvis ikke er $f(z)=0$ for alle $z$, og uansett tilfelle er $f(x)=0$ for alle $x$ her også.
Men hva hvis $0\not\in \mathrm{im} \ f$? Da gir $(1)$ oss at $f^2(x)=f(2^x)/f(0)$, siden $f(0)$ ikke kan være $0$. Setter vi $y=-2^{x}$ i den originale likningen får vi den nye identiteten
\begin{align} f(-2^x)=2^{-2^x}f^2(x)f(-2^x). \end{align}
Dette betyr at
\begin{align}
f^2(x)=2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og setter vi inn $f(2^x)/f(0)$ for $f^2(x)$ ender vi opp med
\begin{align}
f(-2^x)\left(2^{2^x}f(0)-f(2^x)\right)=0 \quad \forall x.
\end{align}
Dette impliserer $f(2^x)=2^{2^x}$ for alle $x$, eller bare $f(u)=2^u$, for alle positive $u$. Setter vi dette inn i $(1)$ ser vi at
\begin{align}
f^2(x)=\frac{1}{f(0)}2^{2^x} \quad \forall x,
\end{align}
og kombinerer vi dette med $(3)$, må $f(0)=1$. Nå trenger vi kun én innsetting til: Sett $(x,-2^{x-1})$ inn for $(x,y)$, slik at vi får
\begin{align*}
f(0) &= 2^{-2^{x-1}}f^2(x)f(-2^{x-1})\\
\iff 1 &=2^{-2^{x-1}}\cdot 2^{2^x}f(-2^{x-1})\\
\iff 2^{-2^{x-1}} &= f(-2^{x-1}),
\end{align*}
som betyr at $f(x)=2^x$ for alle negative $x$ også. Derfor har funksjonallikningen kun to mulige løsninger, og ved å sette inn kan vi verifisere at begge faktisk funker.