matematikk.net

Finn alle par $(x,y)$ av heltall slik at $y^3+5=x(y^2+2)$.

$\frac{y^3+5}{y^2+2}$ skal altså være et heltall, ved hjelp av den Euklidske algoritmen ser vi at $\gcd(y^3+5,y^2+2)$ må dele $33$. Ergo er $y^2+2=1,3,11,33$, hvor kun $3$ og $11$ kan oppnås. Dette gir de mulige $y$-verdiene $\pm 1,\pm 3$, og hvis jeg har regnet riktig så er de eneste løsningene $(x,y)=(2,1),(-2,-3)$.

Oppfølgere:

1) Finn alle heltallige løsninger av likningen $2x^6+y^7=11$.

2) Vis at det finnes uendelig mange positive heltall $n$ slik at den største primtallsdivisoren til $n^4+n^2+1$ er lik den største primtallsdivisoren til $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Jeg burde virkelig lære meg litt tallteori..... Ser ut som kjekke oppgaver, men det er deprimerende å ikke få til noe dr*tt

stensrud skrev:Oppfølgere:
1) Finn alle heltallige løsninger av likningen $2x^6+y^7=11$.

denne har ingen heltallige løsninger...

stensrud skrev:Oppfølgere:
1) Finn alle heltallige løsninger av likningen $2x^6+y^7=11$.

Modulo 43 tar $y^7$ verdiene $\{0, \pm 1,\pm 6,\pm 7\}$. Da må $2x^6$ ta verdiene $\{4,5,10,11,12,17,18\}$, men $2x^6$ tar bare verdiene $\{0,2,8,22,27,32,39,42\}$, så det fins ingen heltallig løsning.