Omsirkel til sirkler

[LAMBRIDA]

Først tegner vi tre like store sirkler, slik at de tangerer hverandre i en trekantformasjon. Deretter tegner vi den omskrevne sirkel og vi får da tre sirkler inni en stor sirkel. Viss vi setter radien til 5 cm på den store sirkelen, så vil radien til de tre små sirklene være ca. 2,3205081 cm, etter mine beregninger. Kanskje her må settes opp likninger for å komme frem til svaret på minst mulig beregninger, eller en form for direkte løsning. Dette hadde vært interessant å sett.Håper noen vil gjøre det.

[stensrud]

Typisk Abel-oppgave.

Kall sentrene i de små sirkelen $A,B$ og $C$, og senteret i den store for $S$, radien i de små for $r$ og radien i den store for $R$. Da er $5=R=SA+r=SB+r=SC+r$. Klarer vi altså å uttrykke $SA$ bare med $r$, ville vi være ferdige.
Merk at $S$ utgjør medianenes skjæringspunkt $\triangle ABC$. La så medianen fra $\angle A$ treffe $BC$ i $D$. Siden medianene deler hverandre i forholdet $2:1$, er også $SA:DS=2:1$. Høyden i trekanten, $AD=SA+DS$ er lik $\sqrt{3}r$, altså er $SA=\frac{2\sqrt{3}}{3}r$. Vi vet at $SA+r=R=5$, altså er:
$$\frac{2\sqrt{3}}{3}r+r=5\Leftrightarrow r=-15+10\sqrt{3}\approx 2.320508076$$.

[LAMBRIDA]

Det ser ut for å være en flott løsning. Takker for den!

Uten å kunne finne denne oppgaven noen annen sted på nettet, så syns jeg den passet bra, slik at den nå er å finne for den som måtte ønske det.

[ettam]

......Uten å kunne finne denne oppgaven noen annen sted på nettet....

Vel, da gjelder det å kunne søke på engelsk: https://www.google.no/#q=radius+of+thre ... n+a+circle

Og du finner f.eks denne: http://math.stackexchange.com/questions ... ger-circle