Eulers totientfunksjon

[Gustav]

Fins det et primtall [tex]p [/tex] slik at [tex]\varphi(p^2)[/tex] er en permutasjon av [tex]p^2[/tex] ?

[Karl_Erik]

Jeg tror ikke jeg skjønte spørsmålet helt. Mener du at [tex]\phi(p^2)[/tex] skal være en permutasjon av heltallene [tex]1, 2, \ldots, p^2[/tex] i den forstand at [tex]\phi[/tex] som funksjon er det, eller mer som at funksjonen [tex]f(x) = x \cdot \phi(p^2)[/tex] er en permutasjon i ringen [tex]\mathbb{Z}_{p^2}[/tex]? (Alternativt i en annen betydning?)

[Gustav]

Permutasjon i betydningen at et tall 12345 er en permutasjon av tallet 35124, hvis du skjønner.

Så hvis f.eks. [tex]q=abcd[/tex] og [tex]\varphi(q)=badc[/tex] så er q en permutasjon av [tex]\varphi(q)[/tex].

Spørsmålet var altså om det fins en [tex]q=p^2[/tex] for et primtall p med denne egenskapen.

Her er altså [tex]\varphi(x)[/tex] Eulers totientfunksjon..

[ingentingg]

Ja i base 2 er
[tex]\phi(100)=10=010[/tex]

[Gustav]

Ja i base 2 er
[tex]\phi(100)=10=010[/tex]

Ja, men fins det i titallssystemet?

[Karl_Erik]

Nå skjønner jeg, ja. Kreativt spørsmål. Anta at [tex]p[/tex] er et slikt primtall. Siden et tall er kongruent med summen av sifrene sine i titallssystemet modulo 9, som selvfølgelig ikke endrer seg under permutasjon av dem er [tex]p^2 \equiv \phi(p^2)=p(p-1) \pmod 9[/tex], så [tex]p \equiv 0 \pmod 9[/tex], som er umulig, da vi da har [tex]9|p[/tex] for et primtall [tex]p[/tex]. Altså var antagelsen vår gal, og ingen slike primtall finnes.

[Gustav]

Jepp, selvsagt riktig