matematikk.net

Tre personer skal reise en strekning på 14km. De har bare én sykkel, men to personer kan sitte på sykkelen samtidig. Farten til sykkelen er 30 km/t uavhengig av hvor mange som sitter på den. Personene går med en fart på 7,5 km/t.

Hvordan kommer alle personene seg raskest mulig frem? (med nøyaktige tall/avstander)

Aner ikke om dette er riktig, men prøver jo meg som alltid.
Holder på å forklare... Latexen ser ut til å funke

Mest økonomisk måte er dersom en begynner å gå mens to personer sykler. Så slipper syklisten personen av, sykler tilbake og henter den gående. Da har vi tre strekninger, eller tre tider å forholde oss til.
Tiden det tar å sykle 14 km/h. Hvor langt personen går på denne tiden.
Hvor lang tid personen bruker på å sykle tilbake. Og hvor langt den gående har gått i denne perioden. Og hvor lang tid personen bruker å sykle tilbake igjen...

Bruker fart vei tid formelen

[tex] t = \frac{s}{v} [/tex]

[tex] t = \frac{{14}}{{30}} [/tex]

[tex] \underline {t = \frac{7}{{15}}timer} [/tex]

Finner ut hvor lang tid det tar å sykle


[tex] \frac{{15}}{2}farten{\rm{ til den g{\aa}ende}} [/tex]

[tex] s = v \cdot t [/tex]

[tex] s = \frac{{15}}{2} \cdot \frac{7}{{15}} [/tex]

[tex] s = \frac{7}{2}km [/tex]

Finner ut hvor langt den gående har gått i denne perioden


[tex] y = ax + b [/tex]

Farten er konstant, dermed kan vi sette opp strekningen som et uttrykk.


[tex] y = -30x + 14 [/tex]

14 fordi han allerede er kommet fram...

Minus tegnet kommer av at personen sykler "baklengs"


[tex] y = \frac{{15}}{2}x + \frac{7}{2} [/tex]

Farten til personen + hvor langt han er kommet.


[tex] - 30x + 14 = \frac{{15}}{2}x + \frac{7}{2} [/tex]

[tex] - 30x + 14 - \frac{{15}}{2}x - \frac{7}{2} = 0 [/tex]

[tex] - 60x + 28 - 15x - 7 = 0 [/tex]

[tex] - 75x + 21 = 0 [/tex]

[tex] \underline {x = \frac{{21}}{{75}}} [/tex]

Finnet ut tiden det tar før de møtes


[tex] \frac{7}{2} + \frac{{21}}{{75}} \cdot \frac{{15}}{2} [/tex]

[tex] \frac{7}{2} + \frac{{21}}{{10}} [/tex]

[tex] \frac{{56}}{{10}} = \frac{{28}}{5}km [/tex]

Finner ut hvor langt personen har gått i denne perioden.


[tex] 14 - \frac{{28}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{70 - 28}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{42}}{5} [/tex]

Finner ut hvor langt det er tilbake


[tex] t = \frac{s}{v}[/tex]

[tex] t = \frac{{42}}{5}:30 [/tex]

[tex] t = \frac{{42}}{5} \cdot \frac{1}{{30}} [/tex]

[tex] t = \frac{7}{{25}} [/tex]

Bruker at han sykler og finner dermed tiden det tar å sykle tilbake


[tex] \frac{7}{{15}} + \frac{{21}}{{75}} + \frac{7}{{25}} = total{\rm{ tid}}[/tex]

[tex] \frac{{35 + 21 + 21}}{{75}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{{77}}{{75}}timer = 1.06timer}} [/tex]

[tex]\frac{{77}}{{75}} \;=\; 1time\; 1minutt \;og\; 36\; sekunder.\; [/tex]


Legger sammen de tre tidene og får svaret. Antagligvis er dette feil og en tungvint måte og løse den på. Men jeg håper at noet av dette gir mening

Oppfølger...

Tre personer skal til en hytte. Hytten ligger på andre siden av et vann.
Vannet er formet som en sirkel med radius 5km
Personene kan maksimalt være to i båten. Båten kjører med farten 10m/s
mens den som går går med farten 4m/s.
Hva er den korteste tiden det tar for alle og komme til hytten ?

Svaret er dessverre feil:( Jeg gir deg løsningen i bytte mot at du gir meg løsningen på din oppgave:P

Hvordan går man frem i oppfølgeroppgaven?

Ja, man vet at når båten med to personer har kommet over til den andre siden, har den tredje personen tilbakelagt 4km, men hvordan finner man ut hvor båten møter på den tredje personen? gått og grublet på denne en stund nå..

På et eller annet tidspunkt er båten og personen på land på samme sted på sirkelen. Da må båten ha tilbakelagt en distanse tilsvarende lengden til en korde med tilhørende vinkel (hvis A og B er punkter på sirkelen der korden snitter sirkelen og O er sentrum i sirkelen er dette vinkel AOB) [tex]\theta[/tex] samt diagonalen. På samme tid har den spaserende tilbakelagt en sirkelbue på [tex]\pi-\theta[/tex] som tilsvarer en distanse på [tex]5000(\pi-\theta)[/tex].

Lengden av en korde med vinkel [tex]\theta[/tex] er [tex]a=10000*\sin(\frac12 \theta)[/tex]

Så vi må ha at

[tex]\frac{5000(\pi-\theta)}{4}=\frac{10 000(1+\sin(\frac12 \theta))}{10}[/tex]

Den korteste tida vil da være gitt ved [tex]\hat{t}=\frac{5000(\pi-\theta)}{4}+\frac{10 000\sin(\frac12 \theta)}{10}[/tex]

Numerisk løsning blir

[tex]\theta\approx 1.732[/tex].

Så [tex]\hat{t}\approx 2523.73 \,sekunder[/tex].

De er fremme etter 152/150 t.

1) sykkeltur 1 tar 7/15t
2) nr 3 har da gått 3,5 km, og har da 10,5 km igjen.
3) Felles fart er nå 37, 5 km til de møtes (etter 10,5 km avlagt distanse).
4) Møtes etter 7/25 time. nr 3 har da gått ytterligere 2,1 km, og har 8,4 km igjen.
5) Siste felles sykkeltur tar 8,4/30 t (som rent praktisk MÅ være det samme som 7/25 time fordi dette er den samme strekningen som syklisten akkurat har syklet)
6) Summerer opp tidene og får 76/75 time = 1t og 48 sek