Fikk denne av en kamerat, så jeg vet ikke den nøyaktige formuleringen i bladet, men:
Sett et tall i hvert hjørne av en trekant, altså i A, B, og C, summen av sidene skal være et kvadrattall. Dvs A+B=kv.tall, B+C=kv.tall og A+C=kv.tall
La A,B og C være positive heltall og A[symbol:ikke_lik] B[symbol:ikke_lik] C
1. Finn A,B og C
2. Finnes det flere løsninger, finn ev alle. Hva kan man si om tallene A,B,C
(en oppfølger som ikke sto i bladet til de som syns 1. er for lett).
Illustrert vitenskap oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Om alle tallene kan velges fritt og det finnes minst én løsning burde det da finnes uendelig mange, burde det ikke? Mulig jeg overser noe åpenbart nå, men om A, B og C er en løsning burde jo 4A, 4B, 4C eller generelt [tex]k^2A, k^2B, k^2C[/tex] også være det i og med at [tex]k^2A+k^2B=k^2(A+B)=k^2n^2=(kn)^2[/tex]. Det å faktisk finne en løsning overlater jeg til noen som vet hva de driver med.
Det å finne en løsning er ikke så ille. Vi vil at
[tex]a + b = n_1^2 \\ b+c = n_2^2 \\ c + a = n_3^2[/tex]
Som gir
[tex]a = \frac 1 2 (n_1^2 - n_2^2 + n_3^2) \\ b = \frac 1 2 (n_1^2 + n_2^2 - n_3^2) \\ c = \frac 1 2 (-n_1^2 + n_2^2 + n_3^2)[/tex]
Enten er alle n'ene partall, eller så er ett av dem partall og to av dem oddetall. Videre er alle n'ene unike, siden vi ikke ønsker like løsninger for a, b og c.
Vi krever i tillegg at
[tex]n_1^2 < n_2^2 + n_3^2 \\ n_2^2 < n_1^2 + n_3^2 \\ n_3^2 < n_1^2 + n_2^2 [/tex]
Da er vi ikke langt unna å ha klassifisert alle mulige løsninger. En mulighet ser vi er [tex](n_1,n_2,n_3)=(5,6,7)[/tex], som gir løsningen (a,b,c) = (6,19,30)
[tex]a + b = n_1^2 \\ b+c = n_2^2 \\ c + a = n_3^2[/tex]
Som gir
[tex]a = \frac 1 2 (n_1^2 - n_2^2 + n_3^2) \\ b = \frac 1 2 (n_1^2 + n_2^2 - n_3^2) \\ c = \frac 1 2 (-n_1^2 + n_2^2 + n_3^2)[/tex]
Enten er alle n'ene partall, eller så er ett av dem partall og to av dem oddetall. Videre er alle n'ene unike, siden vi ikke ønsker like løsninger for a, b og c.
Vi krever i tillegg at
[tex]n_1^2 < n_2^2 + n_3^2 \\ n_2^2 < n_1^2 + n_3^2 \\ n_3^2 < n_1^2 + n_2^2 [/tex]
Da er vi ikke langt unna å ha klassifisert alle mulige løsninger. En mulighet ser vi er [tex](n_1,n_2,n_3)=(5,6,7)[/tex], som gir løsningen (a,b,c) = (6,19,30)
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Du kan penere indeksering enn det, dao!
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det var mer at det hadde vært mer naturlig å starte med [tex]b+c=n_1^2[/tex].
Når vi snakker om indekser: Det meste jeg har sett i seriøs bruk er 3 som i [tex]x_\alpha_\beta_\gamma[/tex].
Når vi snakker om indekser: Det meste jeg har sett i seriøs bruk er 3 som i [tex]x_\alpha_\beta_\gamma[/tex].
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det lurer jeg også på. Jeg husker ikke sammenhengen. Foreleser beklaga seg litt og alle lo.daofeishi skrev:Huff... i hvilken sammenheng trenger man et slikt hårete dyr?