Hvis P(x),Q(x),R(x) og S(x) er polynomer slik at
[tex]P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x),[/tex]
vis at [tex]x-1[/tex] er en faktor av P(x).
Polynomer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex] \zeta[/tex] være femte enhetsrot. Da ser vi at
[tex]P(1) + \zeta Q(1) + \zeta^2R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^2 Q(1) + \zeta^4 R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^3 Q(1) + \zeta^6R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^4 Q(1) + \zeta^8R(1) = 0 [/tex]
Summer vi disse får vi [tex]4P(1) = 0[/tex], og derfra følger påstanden.
[tex]P(1) + \zeta Q(1) + \zeta^2R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^2 Q(1) + \zeta^4 R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^3 Q(1) + \zeta^6R(1) = 0 \\ P(1) + \zeta^4 Q(1) + \zeta^8R(1) = 0 [/tex]
Summer vi disse får vi [tex]4P(1) = 0[/tex], og derfra følger påstanden.
Mjada, men dersom vi multipliserer likningene over med [tex]-\zeta, -\zeta^2, -\zeta^3, -\zeta^4[/tex]
Får vi
[tex]- \zeta P(1) - \zeta^2Q(1) - \zeta^3R(1) = 0 \\ -\zeta^2 P(1) - \zeta^4Q(1) - \zeta R(1) = 0 \\ -\zeta^3 P(1) - \zeta Q(1) - \zeta^4R(1) = 0 \\ - \zeta^4P(1) - \zeta^3Q(1) - \zeta^2R(1) = 0[/tex]
Legger vi sammen alle 8 får vi [tex]5P(1) = 0[/tex], og da var vi ferdige.
Får vi
[tex]- \zeta P(1) - \zeta^2Q(1) - \zeta^3R(1) = 0 \\ -\zeta^2 P(1) - \zeta^4Q(1) - \zeta R(1) = 0 \\ -\zeta^3 P(1) - \zeta Q(1) - \zeta^4R(1) = 0 \\ - \zeta^4P(1) - \zeta^3Q(1) - \zeta^2R(1) = 0[/tex]
Legger vi sammen alle 8 får vi [tex]5P(1) = 0[/tex], og da var vi ferdige.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Her er en: La n og k være positive heltall så [tex]x^{2k}-x^k+1[/tex] deler [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex]. Vis at [tex]x^{2k}+x^k+1[/tex] deler [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex].