Bestemt integral

[daofeishi]

La [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] være gulvfunksjonen. Finn

[tex]\int _0 ^\infty \lfloor x \rfloor e^{-x} dx[/tex]

[Vektormannen]

Hvis vi ser på integranden i et intervall (k,k+1) der k er heltall, så er den lik [tex]k \cdot e^{-x}[/tex] i dette intervallet. Det bestemte integralet av denne "biten" av funksjonen blir da [tex]\int_{k}^{k+1} k \cdot e^{-x} dx = -k \cdot e^{-(k+1)} - (-k \cdot e^{-k}) = -k \cdot e^{-k-1} + k \cdot e^{-k}[/tex].

Integralet av hele funksjonen må da bli summen av de ubestemte integralene av hver delfunksjon i uendelig mange slike intervaller:

[tex]\int_0^{\infty} \lfloor x \rfloor e^{-x} dx = \sum_{i = 1}^{\infty}(-i \cdot e^{-i-1} + i \cdot e^{-i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} -i \cdot e^{-i-1} + \sum_{i = 1}^{\infty} i \cdot e^{-i}[/tex]

(Satte like greit nedre grense for summene til 1 da leddene med i = 0 uansett faller bort.)

I denne rekka vil leddet med i = k i summen til venstre ha en potens av e med samme eksponent som leddet med i = k+1 i summen til høyre. Koeffisientene på disse leddene vil være -k og k+1 slik at når de legges sammen får vi alltid koeffisienten 1. Vi ender altså opp med rekka [tex]\sum_{i=1}^{\infty} e^{-i}[/tex].

Dette er ei konvergent geometrisk rekke med kvotient [tex]k = e^{-1}[/tex]. Den konvergerer mot [tex]S = \frac{e^{-1}}{1-e^{-1}} = \frac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}} = \frac{\frac{1}{e}}{\frac{e-1}{e}} = \frac{1}{e-1}[/tex].

Stemmer dette? (noe tynn utledning kanskje? )