Tre tannhjul ligger i et plan (Vi sier xy-planet). Tannhjul [tex]P[/tex] har sentrum i [tex]P_s(0,2)[/tex] og har en radius på 2. Tannhjul [tex]Q[/tex] har sentrum i [tex]Q_s(0,-2)[/tex] og har også radius 2. Tannhjul [tex]R[/tex] har sentrum i [tex]R_s(3,-2)[/tex] og har radius 1. Tannhjul [tex]P[/tex] roterer mot klokken med en fart på [tex]\frac{1}{2\pi}r/sek[/tex] (rotasjoner per sekund).
Det ligger punkter [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] på [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] or [tex]R[/tex] respektivt, og punktene følger tannhjulet de er festet i. Når [tex]t=0[/tex], er posisjonene til punktene [tex]A(2,2)\,,\,B(0,-4)\,,\,C(3,-1)[/tex]. Punktene [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] danner en trekant [tex]\triangle ABC[/tex]. Vi kaller punktet der høydene til trekanten møtes for [tex]S[/tex].
a) På hvilke tidspunkt i intervallet [tex]t\in[0,2\pi \, sek][/tex] ligger [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] på linje med hverandre?
b) Finn [tex]S[/tex]. Beskriv bevegelsen til [tex]S[/tex] med en parameterisk funksjon.
Tannhjul og trekant
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Med høydene på trekanten mener jeg alle linjene som går gjennom et av hjørnene og står normalt på den motstående siden.
Her er det bare å hamre løs med vektorfunksjoner. Vi finner posisjonskurvene til A, B og C:
[tex]\vec{OA}=[2\cos(t),2\sin(t) +2][/tex]
[tex]\vec{OB}=[2\cos(t-\frac{\pi}{2}),2\sin(t-\frac{\pi}{2}) -2] = [2\sin(t),-2\cos(t) -2][/tex]
[tex]\vec{OC}=[\cos(t+\frac{\pi}{2})+3,\sin(t+\frac{\pi}{2}) -2]=[-\sin(t)+3,\cos(t) -2][/tex]
[tex]\vec{AB}=[2\sin(t)-2\cos(t),-2\cos(t) -2-2\sin(t)-2]=[2\sqrt{2}\sin(t-\frac{\pi}{2}),-2\sqrt{2}\cos(t-\frac{\pi}{2})-4]=[-2\sqrt{2}\cos(t),-2\sqrt{2}\sin(t)-4][/tex]
La [tex]\theta=\arcsin(\frac{2}{\sqrt{5}})=\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})[/tex].
[tex]\vec{AC}=[-\sin(t)+3-2\cos(t),\cos(t) -2-2\sin(t) -2]=[-\sqrt{5}\sin(t+\theta)+3,\sqrt{5}\cos(t+\theta)-4][/tex]
Punktene ligger på linje når [tex]\vec{AB} \times \vec{AC}=0[/tex] (vi lar z-komponenten være 0)
Dvs når [tex][-2\sqrt{2}\cos(t)][\sqrt{5}\cos(t+\theta)-4]=[-2\sqrt{2}\sin(t)-4][-\sqrt{5}\sin(t+\theta)+3][/tex]
Etter en litt slitsom utregning kommer jeg fram til at [tex]t=\arcsin(\frac{4\sqrt{2}-4}{\sqrt{70-44\sqrt{2}}})=\arccos(\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{70-44\sqrt{2}}}) \approx 0.636[/tex]
Hvis X er skjæringspunktet mellom normalen fra C til AB, så vil et tall k (som avhenger av t) være slik at [tex]\vec{AX}=k \vec{AB} \Rightarrow \vec{OX}=k \vec{AB}+\vec{OA} \Rightarrow \vec{CX}=k \vec{AB}+\vec{AC}[/tex]. Siden CX står normalt på AB, så vil [tex]\vec{CX} \cdot \vec{AB}=0 \Rightarrow k=\frac{-\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}[/tex]
På samme måte, hvis Y er skjæringspunktet mellom normalen fra B til AC, så vil et tall l være slik at [tex]\vec{AY}=l \vec{AC} \Rightarrow l=\frac{-\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2}[/tex]
Vi vil ha punktet S når linja gjennom CX og BY treffer hverandre:
[tex]\vec{CX}=k \vec{AB}-\vec{OC}[/tex]
[tex]\vec{BY}=l \vec{AC}-\vec{OB}[/tex]
Med disse retningsvektorene kan vi finne linjene gjennom CX og BY, utregningene for å finne dem og videre for å finne S er så omfattende at jeg ikke gidder å dem skrive inn, men svaret blir:
[tex]\vec{OS}=[b_1+(ln_1-b_1)(\frac{(b_2-c_2)(km_1-c_1)-(b_1-c_1)(km_2-c_2)}{(ln_1-b_1)(km_2-c_2)-(ln_2-b_2)(km_1-c_1)}),b_2+(ln_2-b_2)(\frac{(b_2-c_2)(km_1-c_1)-(b_1-c_1)(km_2-c_2)}{(ln_1-b_1)(km_2-c_2)-(ln_2-b_2)(km_1-c_1)})][/tex]
Hvor [tex]\vec{AB}=[m_1,m_2], \vec{OC}=[c_1,c_2], \vec{AC}=[n_1,n_2], \vec{OB}=[b_1,b_2][/tex] Som alle lett kan finnes ved å bruke de gitte vektorene over.
Dette må være et av de styggeste svarene jeg har fått noen gang, og forenklingen får noen andre gjøre!
espen: Er denne oppgaven hentet fra noe sted, eller har du lagd den selv ?
[tex]\vec{OA}=[2\cos(t),2\sin(t) +2][/tex]
[tex]\vec{OB}=[2\cos(t-\frac{\pi}{2}),2\sin(t-\frac{\pi}{2}) -2] = [2\sin(t),-2\cos(t) -2][/tex]
[tex]\vec{OC}=[\cos(t+\frac{\pi}{2})+3,\sin(t+\frac{\pi}{2}) -2]=[-\sin(t)+3,\cos(t) -2][/tex]
[tex]\vec{AB}=[2\sin(t)-2\cos(t),-2\cos(t) -2-2\sin(t)-2]=[2\sqrt{2}\sin(t-\frac{\pi}{2}),-2\sqrt{2}\cos(t-\frac{\pi}{2})-4]=[-2\sqrt{2}\cos(t),-2\sqrt{2}\sin(t)-4][/tex]
La [tex]\theta=\arcsin(\frac{2}{\sqrt{5}})=\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})[/tex].
[tex]\vec{AC}=[-\sin(t)+3-2\cos(t),\cos(t) -2-2\sin(t) -2]=[-\sqrt{5}\sin(t+\theta)+3,\sqrt{5}\cos(t+\theta)-4][/tex]
Punktene ligger på linje når [tex]\vec{AB} \times \vec{AC}=0[/tex] (vi lar z-komponenten være 0)
Dvs når [tex][-2\sqrt{2}\cos(t)][\sqrt{5}\cos(t+\theta)-4]=[-2\sqrt{2}\sin(t)-4][-\sqrt{5}\sin(t+\theta)+3][/tex]
Etter en litt slitsom utregning kommer jeg fram til at [tex]t=\arcsin(\frac{4\sqrt{2}-4}{\sqrt{70-44\sqrt{2}}})=\arccos(\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{70-44\sqrt{2}}}) \approx 0.636[/tex]
Hvis X er skjæringspunktet mellom normalen fra C til AB, så vil et tall k (som avhenger av t) være slik at [tex]\vec{AX}=k \vec{AB} \Rightarrow \vec{OX}=k \vec{AB}+\vec{OA} \Rightarrow \vec{CX}=k \vec{AB}+\vec{AC}[/tex]. Siden CX står normalt på AB, så vil [tex]\vec{CX} \cdot \vec{AB}=0 \Rightarrow k=\frac{-\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}[/tex]
På samme måte, hvis Y er skjæringspunktet mellom normalen fra B til AC, så vil et tall l være slik at [tex]\vec{AY}=l \vec{AC} \Rightarrow l=\frac{-\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2}[/tex]
Vi vil ha punktet S når linja gjennom CX og BY treffer hverandre:
[tex]\vec{CX}=k \vec{AB}-\vec{OC}[/tex]
[tex]\vec{BY}=l \vec{AC}-\vec{OB}[/tex]
Med disse retningsvektorene kan vi finne linjene gjennom CX og BY, utregningene for å finne dem og videre for å finne S er så omfattende at jeg ikke gidder å dem skrive inn, men svaret blir:
[tex]\vec{OS}=[b_1+(ln_1-b_1)(\frac{(b_2-c_2)(km_1-c_1)-(b_1-c_1)(km_2-c_2)}{(ln_1-b_1)(km_2-c_2)-(ln_2-b_2)(km_1-c_1)}),b_2+(ln_2-b_2)(\frac{(b_2-c_2)(km_1-c_1)-(b_1-c_1)(km_2-c_2)}{(ln_1-b_1)(km_2-c_2)-(ln_2-b_2)(km_1-c_1)})][/tex]
Hvor [tex]\vec{AB}=[m_1,m_2], \vec{OC}=[c_1,c_2], \vec{AC}=[n_1,n_2], \vec{OB}=[b_1,b_2][/tex] Som alle lett kan finnes ved å bruke de gitte vektorene over.
Dette må være et av de styggeste svarene jeg har fått noen gang, og forenklingen får noen andre gjøre!
espen: Er denne oppgaven hentet fra noe sted, eller har du lagd den selv ?
Hoi! Flott arbeid! 
En mindre ond oppgave ville kanskje være å finne arealet til trekanten?
Oppgaven er inspirert av en innleveringsoppgave fra MIT (18.02 Multivariable Calculus, Inleveringssett 2, Oppgave 2)
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathema ... ts/ps2.pdf
En mindre ond oppgave ville kanskje være å finne arealet til trekanten?
Oppgaven er inspirert av en innleveringsoppgave fra MIT (18.02 Multivariable Calculus, Inleveringssett 2, Oppgave 2)
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathema ... ts/ps2.pdf