Eit integral

[MatteNoob]

Fant dette i en eksamen fra MAT1100

[tex]\int \frac{2x+1}{x^2-2x+2} \rm{d}x[/tex]

[Olorin]

[tex]I=\int\frac{2x+1}{x^2-2x+2}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=x^2-2x+2,\,\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=2x-2[/tex]

[tex]\rm{d}x=\frac{\rm{d}u}{2x-2}[/tex]

[tex]I=\int\frac{2x+1+2-2}{u(2x-2)}\rm{d}u=\int\frac{2x-2}{u(2x-2)}\rm{d}u+\int\frac3{u(2x-2)}\rm{d}u[/tex]

[tex]I=I_1+I_2[/tex]

[tex]I_1=\int\frac1{u}\rm{d}u=\ln|u|+C=\ln|x^2-2x+2|+C_1[/tex]

[tex]I_2=\int\frac{3}{x^2-2x+2}\rm{d}x[/tex]

Skriver om nevner. (a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2, a=x, b=1

[tex]I_2=\int\frac3{1+(x-1)^2}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=x-1,\,\ \rm{d}x=\rm{d}u[/tex]

[tex]I_2=\int\frac3{1+u^2}\rm{d}u=3\arctan(u)+C_2=3\arctan(x-1)+C_2[/tex]

[tex]I=\ln|x^2-2x+2|+3\arctan(x-1)+C,\,\ C=C_1+C_2[/tex]

[Olorin]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

[Janhaa]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever
[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Hint;

[tex]u=\sqrt x[/tex]

[Vektormannen]

Edit:

[Olorin]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever
[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Hint;

[tex]u=\sqrt x[/tex]

Kan også sette [tex]u=1+\sqr{x}[/tex] Begge fører vel frem såvidt jeg husker

[espen180]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Usikker på denne. Har ikke så mye erfaring med integraler ennå.

[tex]u=\sqrt{x}+1 \\ \int \frac{u-1}{u}\rm{d}u=\int \rm{d}u + \int \frac{1}{u}\rm{d}u =u+ln(u)+C=\sqrt{x}+1+\ln(\sqrt{x}+1)+C[/tex]

Her skar det seg. Hvor gikk det egentlig galt?

[Charlatan]

Du har ikke substituert riktig.

[espen180]

Takk. Tenkte meg det. Kunne du gi meg en hint til hvordan jeg burde substituere?

[BMB]

Hmm...jeg begynte som deg Espen, men fortsatte med at:

[tex]\frac{u-1}{u}=1-\frac{1}{u}[/tex].

Edit: - jeg går og legger meg.

[Charlatan]

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} \cdot \frac{1}{2(u-1)}=1[/tex] har du sikkert kommet fram til. Gang inn dette.

Dere kan ikke kun substituere et uttrykk med en variabel, og deretter integrere med hensyn på variabelen! [tex]\int f(u) u^\prime \rm{d}x= \int f(u) \rm{d}u[/tex],

[Karl_Erik]

Kan det stemme at svaret er [tex]x-2 sqrt x + 2 ln (sqrt x+1)[/tex]?

[espen180]

Ja, det stemmer.

[MatteNoob]

Her er en liten seminøtt for VGS-elever

[tex]\int\frac{\sqr x}{1+\sqr x}\rm{d}x[/tex]

Dette er ikke mitt verk, jeg fikk hjelp, men slik løste de det.

[tex]u = \sqrt x + 1 \\ \, \\ \Rightarrow x = (u-1)^2[/tex]

[tex]dx = 2(u-1)du[/tex]

[tex]2\cdot \int \frac{(u-1)}{u} \cdot (u-1)du = 2\cdot \int \frac{u^2 -2u + 1}{u} du = 2\int \left( u - 2 + \frac 1u\right) du \;\ldots[/tex]