matematikk.net

Vis at

[tex]{\left( {a + \frac{1}{b} - 1} \right)} \left( {b + \frac{1}{c} - 1} \right) +{\left( {b + \frac{1}{c} - 1} \right)} \left( {c + \frac{1}{a} - 1} \right)+{\left( {c + \frac{1}{a} - 1} \right)} \left( {a + \frac{1}{b} - 1} \right) \ge 3[/tex]

Eller

[tex]\sum\limits_{cyc}^{a,b,c} {\left( {a + \frac{1}{b} - 1} \right)} \left( {b + \frac{1}{c} - 1} \right) \ge 3[/tex]

[tex]a,b,c > 0[/tex]

Artig oppgave, lett å rote seg bort her...

[tex]\sum_{cyc}^{a,b,c} (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1) \geq \sum_{cyc}^{a,b,c} (2 \sqrt{\frac{a}{b}}-1)(2 \sqrt{\frac{b}{c}}-1)=3[/tex]
Her brukte jeg bare at [tex]x+\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}[/tex] som er AM-GM

EDIT: Sorry folks, rota meg visst bort (ble litt for seint ):
[tex]\sum_{cyc}^{a,b,c} (2 \sqrt{\frac{a}{b}}-1)(2 \sqrt{\frac{b}{c}}-1) \neq 3[/tex]

Veldig bra!

Oi, ja ser jo det nå..

Prøv å utvide og deretter bruke AM-GM.