Et integral, hverken mer eller mindre
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Løs integralet [tex]\int ax^ne^x\rm{d}x[/tex]
Beklager. [tex]e^x[/tex] er ikke en konsant, slik du har behandlet den der.
Med litt delvis integrasjon kan det se ut som at vi kan uttrykket integralet slik: [tex]f(x)=\int e^x x^n \rm{d}x=C+n!e^x \sum^n_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k}[/tex] For en vilkårlig konstant C, og heltall n.
Vi deriverer for å se at dette er sant. La [tex]S_n=\sum^n_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k}[/tex]
Da er [tex]\frac{\rm{d}S_n}{\rm{d}x}=\sum^n_{k=1} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} (-1)^{n-k}=\sum^{n-1}_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k-1}=-S_{n-1}[/tex]
Dermed har vi at [tex]f ^\prime (x) = n!e^xS_n-n!e^xS{n-1}=n!e^x(S_n-S_{n-1})=n!e^x(\frac{x^n}{n!})=e^x x^n[/tex]
Da har vi bevist at det er sant
Så[tex] \int e^x x^n \rm{d}x=C+n!e^x \sum^n_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k}=C+n!e^x(-1)^n(\frac{1}{0!}-\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}-...(-1)^n\frac{x^n}{n!})[/tex]
Vi deriverer for å se at dette er sant. La [tex]S_n=\sum^n_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k}[/tex]
Da er [tex]\frac{\rm{d}S_n}{\rm{d}x}=\sum^n_{k=1} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} (-1)^{n-k}=\sum^{n-1}_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k-1}=-S_{n-1}[/tex]
Dermed har vi at [tex]f ^\prime (x) = n!e^xS_n-n!e^xS{n-1}=n!e^x(S_n-S_{n-1})=n!e^x(\frac{x^n}{n!})=e^x x^n[/tex]
Da har vi bevist at det er sant
Så[tex] \int e^x x^n \rm{d}x=C+n!e^x \sum^n_{k=0} \frac{x^k}{k!} (-1)^{n-k}=C+n!e^x(-1)^n(\frac{1}{0!}-\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}-...(-1)^n\frac{x^n}{n!})[/tex]
Glimrende utført! 