1. Likningen for en sirkel er
[tex]y^2 + x^2 + 2y - 8x + 7 = 0[/tex]
2. En parameterfremstilling er gitt ved
[tex]x = t \;\; \wedge \;\; y = k + 2t[/tex]
Finn ved regning eksakte verdier for [tex]k[/tex] slik at linja tangerer sirkelen.
Vi vil tangere sirkelen. [VGS Nivå]
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
[tex](k+2t)^2+t^2+2(k+2t)-8t+7=0 \\ k^2+5t^2+4tk+2k-4t+7=0 \\ 5t^2+(4k-4)t+(k^2+2k+7)=0 \\[/tex]
Det skal kun være én løsning for t, så
determinanten i annengradslikningen må være lik 0.
[tex](4k-4)^2-20(k^2+2k+7)=0 \\ 16k^2-32k+16-20k^2-40k-140=0 \\ 4k^2+72k+124=0 \\ k^2+18k+31=0 \\ k=\frac{-18 \pm \sqrt{18^2-4 \cdot 31} }{2} \\ k=-9 \pm \sqrt{81-31}=-9 \pm 5\sqrt{2}[/tex]
Det skal kun være én løsning for t, så
determinanten i annengradslikningen må være lik 0.
[tex](4k-4)^2-20(k^2+2k+7)=0 \\ 16k^2-32k+16-20k^2-40k-140=0 \\ 4k^2+72k+124=0 \\ k^2+18k+31=0 \\ k=\frac{-18 \pm \sqrt{18^2-4 \cdot 31} }{2} \\ k=-9 \pm \sqrt{81-31}=-9 \pm 5\sqrt{2}[/tex]
Kjempeflott løsning, Jarle. Den er selvfølgelig korrekt. Jeg stuket fryktelig med en liknende oppgave i natt, og jeg løste den på en annen måte. Metoden jeg brukte, var mye mer omfattende og lite elegant, så jeg lurte på om du kan forklare hva du mente med at:
I fare for å virke lavpannet; jeg setter pris på om du kunne forklare meg hvorfor det du gjør fungerer, og hva du egentlig gjør.
________
Om det skulle være av interesse, slik løste jeg den:
1) Skriver om uttrykket for sirkelen:
[tex](x-4)^2 + (y+1)^2 = -7 + 1 + 16 \\ \, \\ (x-4)^2 + (y+1)^2 = 10[/tex]
2) Løser mhp y
[tex]y_s = \pm\sqrt{10 - (x-4)^2}-1 \\ \, \\ \Rightarrow\;\; y_s = \pm\sqrt{8x - x^2 -6}-1[/tex]
3) Deriverer y[sub]s[/sub] mhp x
[tex]y_s\prime = \frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2-6}}[/tex]
4) Skriver om parameterfremstillingen til en linær funksjon, uttrykkt ved x.
[tex]y = k + 2x[/tex]
5) Deriverer y
[tex]y\prime = 2[/tex]
[tex]y_s\prime = y\prime \\ \, \\ x-4 = 2\cdot (\sqrt{8x-x^2-6}) \\ \, \\ (x-4)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{8x-x^2-6}\right)^2 \;\;\;\;\text{kvadrerer} \\ \, \\ x^2 - 8x + 16 = 32x-4x^2 - 24 \\ \, \\ 5x^2 -40x +40 = 0 \\ \, \\ x^2 -8x + 8 = 0[/tex]
5) Løser mhp x
[tex]x=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{2} \\ \, \\ x = 4\pm 2\sqrt{2}[/tex]
6) Setter inn i sirkelen for x og løser mhp y
[tex]y_s = \pm\sqrt{10 - (2\sqrt 2)^2}-1 \\ \, \\ y_s = \pm \sqrt{10-4\cdot 2}-1 \\ \, \\ y_s=\pm\sqrt 2 - 1[/tex]
7) Setter inn for y og x i den linære likningen og løser for k.
[tex]\pm \sqrt 2 - 1 = k + 2\cdot (4\pm 2\sqrt 2) \\ \, \\ k = -9\pm 5\sqrt 2[/tex]
Nesten litt flaut å poste det, hihi :]
Jeg trodde at: [tex]x = \frac{-b\pm\sqrt{\overbrace{(b)^2-4ac}^{\text{determinant}}}}{2a}[/tex]Jarle10 skrev:Det skal kun være en løsning for t, så determinanten i andregradslikningen må være 0.
I fare for å virke lavpannet; jeg setter pris på om du kunne forklare meg hvorfor det du gjør fungerer, og hva du egentlig gjør.
________
Om det skulle være av interesse, slik løste jeg den:
1) Skriver om uttrykket for sirkelen:
[tex](x-4)^2 + (y+1)^2 = -7 + 1 + 16 \\ \, \\ (x-4)^2 + (y+1)^2 = 10[/tex]
2) Løser mhp y
[tex]y_s = \pm\sqrt{10 - (x-4)^2}-1 \\ \, \\ \Rightarrow\;\; y_s = \pm\sqrt{8x - x^2 -6}-1[/tex]
3) Deriverer y[sub]s[/sub] mhp x
[tex]y_s\prime = \frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2-6}}[/tex]
4) Skriver om parameterfremstillingen til en linær funksjon, uttrykkt ved x.
[tex]y = k + 2x[/tex]
5) Deriverer y
[tex]y\prime = 2[/tex]
[tex]y_s\prime = y\prime \\ \, \\ x-4 = 2\cdot (\sqrt{8x-x^2-6}) \\ \, \\ (x-4)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{8x-x^2-6}\right)^2 \;\;\;\;\text{kvadrerer} \\ \, \\ x^2 - 8x + 16 = 32x-4x^2 - 24 \\ \, \\ 5x^2 -40x +40 = 0 \\ \, \\ x^2 -8x + 8 = 0[/tex]
5) Løser mhp x
[tex]x=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{2} \\ \, \\ x = 4\pm 2\sqrt{2}[/tex]
6) Setter inn i sirkelen for x og løser mhp y
[tex]y_s = \pm\sqrt{10 - (2\sqrt 2)^2}-1 \\ \, \\ y_s = \pm \sqrt{10-4\cdot 2}-1 \\ \, \\ y_s=\pm\sqrt 2 - 1[/tex]
7) Setter inn for y og x i den linære likningen og løser for k.
[tex]\pm \sqrt 2 - 1 = k + 2\cdot (4\pm 2\sqrt 2) \\ \, \\ k = -9\pm 5\sqrt 2[/tex]
Nesten litt flaut å poste det, hihi :]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Det er mange veier til Rom, sies det 
Som du ser så har en annengradslikning kun én løsning om determinanten er lik 0. Grunnen til at den må være det, er at en tangent kun skjærer (tangerer) sirkelen i ett punkt, da kan det ikke være to forskjellige løsninger for x. Hvis linja likevel skulle skjære sirkelen i ett x-koordinat, og likevel ikke være tangent, er hvis linja er vertikal, som den ikke er.
Som du ser så har en annengradslikning kun én løsning om determinanten er lik 0. Grunnen til at den må være det, er at en tangent kun skjærer (tangerer) sirkelen i ett punkt, da kan det ikke være to forskjellige løsninger for x. Hvis linja likevel skulle skjære sirkelen i ett x-koordinat, og likevel ikke være tangent, er hvis linja er vertikal, som den ikke er.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Jeg pirker litt på språket; diskriminanten, ikke determinanten.
Jarle10:
Takk igjen. Jeg reagerte ikke på determinant, jeg heller. Den determinerer jo om man får 1, 2 reelle eller imaginære løsninger, så jeg synes determinant var logisk, hehe.
Så det du gjorde her, var rett og slett:
[tex]\underbrace{5}_{\text{\\a}}t^2 + \underbrace{(4k-4)}_{\text{\\b}}t +\underbrace{(7+k^2+2k)}_{\text{\\c}} = 0[/tex]
Der diskriminanten blir
[tex](4k-4)^2 - 4\cdot 5 \cdot (7+k^2+2k) = 0 \\ \, \\ (4k-4)^2-20(7+k^2+2k) = 0[/tex]
Og fordi parameterfremstillingen er linær, vil den følgelig tangere sirkelen når determinanten er 0.
___________
Det var joggu en kortere vei til Rom, ja, haha. Fryktelig artig å lære hvordan man gjøre ting så elegant som dette!
Takk igjen. Jeg reagerte ikke på determinant, jeg heller. Den determinerer jo om man får 1, 2 reelle eller imaginære løsninger, så jeg synes determinant var logisk, hehe.
Så det du gjorde her, var rett og slett:
[tex]\underbrace{5}_{\text{\\a}}t^2 + \underbrace{(4k-4)}_{\text{\\b}}t +\underbrace{(7+k^2+2k)}_{\text{\\c}} = 0[/tex]
Der diskriminanten blir
[tex](4k-4)^2 - 4\cdot 5 \cdot (7+k^2+2k) = 0 \\ \, \\ (4k-4)^2-20(7+k^2+2k) = 0[/tex]
Og fordi parameterfremstillingen er linær, vil den følgelig tangere sirkelen når determinanten er 0.
___________
Det var joggu en kortere vei til Rom, ja, haha. Fryktelig artig å lære hvordan man gjøre ting så elegant som dette!
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Haha, så dritiut!Magnus skrev:Diskriminanten! hehe. Ja, da parameterframstillingen er lineær kan den bare tangere i ett punkt, og dermed kan likningen kun ha én løsning.
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.