matematikk.net

Hvis [tex]\sum^{2008}_{n=1} n \cdot 3^n = \frac{a \cdot 3^b + 3}{c}[/tex] hvor [tex]\gcd(a,c)=1[/tex],

finn restverdien (remainder) til [tex]\frac{a+b+c}{1000}[/tex]

Etter litt summering fant jeg at summen ble [tex]S = \frac{1}{4}[4015 \cdot 3^{2009} + 3][/tex]

Isåfall blir a + b + c = 4015 + 2009 + 4 = 6028, som er kongruent med 28 (mod 1000). Har ikke sjekka om summen stemmer, for blir regnefeil når jeg holder på.

Flott, det er riktig det. Men vil gjerne ha et lite bevis for at summen er slik, og litt begrunnelse for at [tex](a,b,c)=(4015,2009,4)[/tex]

For å finne summen, så tegnet jeg opp en tabell på følgende måte:

3^1
3^2 + 3^2
3^3 + 3^3 + 3^3
3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4
.
.
.
3^2008 + 3^2008 + ........................... 3^2008

Summen vi er ute etter er summen av alle disse summene. Så faktoriserer jeg ut 3^2008 i alle summene. Da vil hver av kolonnene bli geometriske rekker som starter på 1 og ender på (1/3)^(k-1) hvor k = 2008 for første kolonne og k = 1 for siste. Bruker formel for sum til geometrisk rekke på hver av disse, og summerer dem så sammen, som resulterer i noe greier pluss en ny geometrisk rekke, og jeg får til slutt det jeg skrev.

Men det går an å velge andre verdier for a og b enn 4015 og 2009. For positive heltall vil a = 4015 * 3^n og b = 2009 - n også tilfredstille likningen, men gir andre verdier av resten. Så det ser ikke ut til å være entydig bestemt. Om det er mulig med andre verdier av c vet jeg ikke helt.

Her er en annen måte å gjøre denne oppgaven på:
[tex] f_m (x) = \sum\limits_{n = 1}^m {nx^n } = \sum\limits_{n = 1}^m {x\frac{d}{{dx}}x^n } \\ = x\frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 1}^m {x^n } = x\frac{d}{{dx}}\frac{{x^{m + 1} - 1}}{{x - 1}} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^m \left( {x - 1} \right) - \left( {x^{m + 1} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^{m + 1} - \left( {m + 1} \right)x^m - x^{m + 1} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = \frac{{x^{m + 1} \left( {mx - \left( {m + 1} \right)} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}[/tex]

Dermed er summen vi leter etter denne:
[tex]f_{2008} (3) = \frac{{4015 \cdot 3^{2009} + 3}}{4}[/tex],
som gir oss at [tex]\left( {a,b,c} \right) = \left( {4015,2009,3} \right)[/tex].
Altså : [tex]a + b + c = 4015 + 2009 + 3 = 6028 \equiv 28\bmod 1000[/tex].

Vi kan kanskje for ordens skyld definere (a,b,c) til å være en triplett av positive heltall slik summen av dem er minst mulig.