Hvis [tex]\sum^{2008}_{n=1} n \cdot 3^n = \frac{a \cdot 3^b + 3}{c}[/tex] hvor [tex]\gcd(a,c)=1[/tex],
finn restverdien (remainder) til [tex]\frac{a+b+c}{1000}[/tex]
Sum og delelighet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Etter litt summering fant jeg at summen ble [tex]S = \frac{1}{4}[4015 \cdot 3^{2009} + 3][/tex]
Isåfall blir a + b + c = 4015 + 2009 + 4 = 6028, som er kongruent med 28 (mod 1000). Har ikke sjekka om summen stemmer, for blir regnefeil når jeg holder på.
Isåfall blir a + b + c = 4015 + 2009 + 4 = 6028, som er kongruent med 28 (mod 1000). Har ikke sjekka om summen stemmer, for blir regnefeil når jeg holder på.
For å finne summen, så tegnet jeg opp en tabell på følgende måte:
3^1
3^2 + 3^2
3^3 + 3^3 + 3^3
3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4
.
.
.
3^2008 + 3^2008 + ........................... 3^2008
Summen vi er ute etter er summen av alle disse summene. Så faktoriserer jeg ut 3^2008 i alle summene. Da vil hver av kolonnene bli geometriske rekker som starter på 1 og ender på (1/3)^(k-1) hvor k = 2008 for første kolonne og k = 1 for siste. Bruker formel for sum til geometrisk rekke på hver av disse, og summerer dem så sammen, som resulterer i noe greier pluss en ny geometrisk rekke, og jeg får til slutt det jeg skrev.
Men det går an å velge andre verdier for a og b enn 4015 og 2009. For positive heltall vil a = 4015 * 3^n og b = 2009 - n også tilfredstille likningen, men gir andre verdier av resten. Så det ser ikke ut til å være entydig bestemt. Om det er mulig med andre verdier av c vet jeg ikke helt.
3^1
3^2 + 3^2
3^3 + 3^3 + 3^3
3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4
.
.
.
3^2008 + 3^2008 + ........................... 3^2008
Summen vi er ute etter er summen av alle disse summene. Så faktoriserer jeg ut 3^2008 i alle summene. Da vil hver av kolonnene bli geometriske rekker som starter på 1 og ender på (1/3)^(k-1) hvor k = 2008 for første kolonne og k = 1 for siste. Bruker formel for sum til geometrisk rekke på hver av disse, og summerer dem så sammen, som resulterer i noe greier pluss en ny geometrisk rekke, og jeg får til slutt det jeg skrev.
Men det går an å velge andre verdier for a og b enn 4015 og 2009. For positive heltall vil a = 4015 * 3^n og b = 2009 - n også tilfredstille likningen, men gir andre verdier av resten. Så det ser ikke ut til å være entydig bestemt. Om det er mulig med andre verdier av c vet jeg ikke helt.
Her er en annen måte å gjøre denne oppgaven på:
[tex] f_m (x) = \sum\limits_{n = 1}^m {nx^n } = \sum\limits_{n = 1}^m {x\frac{d}{{dx}}x^n } \\ = x\frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 1}^m {x^n } = x\frac{d}{{dx}}\frac{{x^{m + 1} - 1}}{{x - 1}} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^m \left( {x - 1} \right) - \left( {x^{m + 1} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^{m + 1} - \left( {m + 1} \right)x^m - x^{m + 1} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = \frac{{x^{m + 1} \left( {mx - \left( {m + 1} \right)} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}[/tex]
Dermed er summen vi leter etter denne:
[tex]f_{2008} (3) = \frac{{4015 \cdot 3^{2009} + 3}}{4}[/tex],
som gir oss at [tex]\left( {a,b,c} \right) = \left( {4015,2009,3} \right)[/tex].
Altså : [tex]a + b + c = 4015 + 2009 + 3 = 6028 \equiv 28\bmod 1000[/tex].
[tex] f_m (x) = \sum\limits_{n = 1}^m {nx^n } = \sum\limits_{n = 1}^m {x\frac{d}{{dx}}x^n } \\ = x\frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 1}^m {x^n } = x\frac{d}{{dx}}\frac{{x^{m + 1} - 1}}{{x - 1}} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^m \left( {x - 1} \right) - \left( {x^{m + 1} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = x\frac{{\left( {m + 1} \right)x^{m + 1} - \left( {m + 1} \right)x^m - x^{m + 1} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} \\ = \frac{{x^{m + 1} \left( {mx - \left( {m + 1} \right)} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}[/tex]
Dermed er summen vi leter etter denne:
[tex]f_{2008} (3) = \frac{{4015 \cdot 3^{2009} + 3}}{4}[/tex],
som gir oss at [tex]\left( {a,b,c} \right) = \left( {4015,2009,3} \right)[/tex].
Altså : [tex]a + b + c = 4015 + 2009 + 3 = 6028 \equiv 28\bmod 1000[/tex].