Evaluer integralet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For å løse dette integralet bruker jeg metoden med "derivasjon under integraltegnet," som Daofeishi har skrevet om i denne tråden: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=17092.
Ser på
[tex]I \left( a \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x}[/tex]
og vil finne [tex]I\left( 1 \right)[/tex], observerer samtidig at [tex]I\left( 0 \right)=0 [/tex].
[tex]I\prime\left( a \right) = \frac{d}{{da}}\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{\delta }{{\delta a}}\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }{\rm{d}}x} = \,\int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + ax}}\frac{1}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x}[/tex]
Ved hjelp delbrøksoppspaltning finner en at
[tex]\frac{x}{{1 + ax}}\frac{1}{{1 + x^2 }} = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left( {\frac{{ - a}}{{1 + ax}} + \frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{a}{{1 + x^2 }}} \right)[/tex], slik at:
[tex]I\prime\left( a \right) = \frac{1}{{1 + a^2 }}\int\limits_0^1 {\frac{{ - a}}{{1 + ax}} + \frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{a}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x} \\ = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left[ { - \ln \left( {1 + ax} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {1 + x^2 } \right) + a\arctan \left( x \right)} \right]_0^1 \\ = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left( { - \ln \left( {1 + a} \right) + \frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{\pi a}}{4}} \right)[/tex]
Ved analysens fundamentalteorem er
[tex] I\left( 1 \right) - I\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {I\prime\left( a \right)} {\rm{d}}a \\ I\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\left( { - \ln \left( {1 + a} \right) + \frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{\pi a}}{4}} \right)} {\rm{d}}a \\ = - I\left( 1 \right) + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\left( {\frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{2\pi a}}{8}} \right)} {\rm{d}}a \\ I\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\frac{{\ln 2}}{2} + \frac{\pi }{8}\frac{{2a}}{{1 + a^2 }}} {\rm{d}}a \\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\ln 2}}{2}\arctan \left( a \right) + \frac{\pi }{8}\ln \left( {1 + a^2 } \right)} \right]_0^1 \\ = \frac{{\pi \ln 2}}{8} \\ [/tex]
Ser på
[tex]I \left( a \right) = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x}[/tex]
og vil finne [tex]I\left( 1 \right)[/tex], observerer samtidig at [tex]I\left( 0 \right)=0 [/tex].
[tex]I\prime\left( a \right) = \frac{d}{{da}}\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{\delta }{{\delta a}}\frac{{\ln \left( {1 + ax} \right)}}{{1 + x^2 }{\rm{d}}x} = \,\int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + ax}}\frac{1}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x}[/tex]
Ved hjelp delbrøksoppspaltning finner en at
[tex]\frac{x}{{1 + ax}}\frac{1}{{1 + x^2 }} = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left( {\frac{{ - a}}{{1 + ax}} + \frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{a}{{1 + x^2 }}} \right)[/tex], slik at:
[tex]I\prime\left( a \right) = \frac{1}{{1 + a^2 }}\int\limits_0^1 {\frac{{ - a}}{{1 + ax}} + \frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{a}{{1 + x^2 }}{\rm{d}}x} \\ = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left[ { - \ln \left( {1 + ax} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {1 + x^2 } \right) + a\arctan \left( x \right)} \right]_0^1 \\ = \frac{1}{{1 + a^2 }}\left( { - \ln \left( {1 + a} \right) + \frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{\pi a}}{4}} \right)[/tex]
Ved analysens fundamentalteorem er
[tex] I\left( 1 \right) - I\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {I\prime\left( a \right)} {\rm{d}}a \\ I\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\left( { - \ln \left( {1 + a} \right) + \frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{\pi a}}{4}} \right)} {\rm{d}}a \\ = - I\left( 1 \right) + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\left( {\frac{{\ln 2}}{2} + \frac{{2\pi a}}{8}} \right)} {\rm{d}}a \\ I\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + a^2 }}\frac{{\ln 2}}{2} + \frac{\pi }{8}\frac{{2a}}{{1 + a^2 }}} {\rm{d}}a \\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\ln 2}}{2}\arctan \left( a \right) + \frac{\pi }{8}\ln \left( {1 + a^2 } \right)} \right]_0^1 \\ = \frac{{\pi \ln 2}}{8} \\ [/tex]
Dette er faktisk et Putnam integral. Jeg løste det en gang med dobbelt integral, men husker ikke i farta hvordan 
.
Imidlertid er svaret ditt riktig, her er en annen måte å løse integralet på. Ei eller er jeg bevandra i metoden "differentitation under the integral sign".
Der for dao godkjenne.
http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... egral_sign
------------------------
En anna metode:
[tex]I=\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\,dx[/tex]
setter x = tan(u)
dx = (1 + tan[sup]2[/sup](u)) du = (1 + x[sup]2[/sup]) du
slik at
[tex]I=\int_0^{\pi\over 4} \ln(1+\tan(u))\,du[/tex]
substitusjon 2:
s = ([symbol:pi] /4) - u
og bruker at
[tex]1\,+\,\tan({\pi\over 4}\,-\,s)=\frac{2}{1\,+\,\tan(s)[/tex]
videre;
[tex]I=\int_0^{\pi\over 4}(\ln(2)\,-\,\ln(1+\tan(s)))\,ds\,=\,{\pi\over 4}\ln(2)\,-\,I[/tex]
[tex]):[/tex]
[tex]2I\,=\,{\pi\over 4}\ln(2)\,\,\Rightarrow\,\,I\,=\,{\pi\over 8}\ln(2)[/tex]
.Imidlertid er svaret ditt riktig, her er en annen måte å løse integralet på. Ei eller er jeg bevandra i metoden "differentitation under the integral sign".
Der for dao godkjenne.
http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... egral_sign
------------------------
En anna metode:
[tex]I=\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\,dx[/tex]
setter x = tan(u)
dx = (1 + tan[sup]2[/sup](u)) du = (1 + x[sup]2[/sup]) du
slik at
[tex]I=\int_0^{\pi\over 4} \ln(1+\tan(u))\,du[/tex]
substitusjon 2:
s = ([symbol:pi] /4) - u
og bruker at
[tex]1\,+\,\tan({\pi\over 4}\,-\,s)=\frac{2}{1\,+\,\tan(s)[/tex]
videre;
[tex]I=\int_0^{\pi\over 4}(\ln(2)\,-\,\ln(1+\tan(s)))\,ds\,=\,{\pi\over 4}\ln(2)\,-\,I[/tex]
[tex]):[/tex]
[tex]2I\,=\,{\pi\over 4}\ln(2)\,\,\Rightarrow\,\,I\,=\,{\pi\over 8}\ln(2)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Derivasjon under integralteknet og metoden med å skrive et enkeltintegral som et dobbelt, er vel essensielt det samme.
Vi kan jo ta dette integralet som et eksempel, hvor vi har at:
[tex]\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x^2 }}\textrm{d}x} = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 \frac{x}{{1 + yx}}\frac{1}{{1 + x^2 }}\textrm{d}y\textrm{d}x}[/tex].
Vi kan jo ta dette integralet som et eksempel, hvor vi har at:
[tex]\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x^2 }}\textrm{d}x} = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 \frac{x}{{1 + yx}}\frac{1}{{1 + x^2 }}\textrm{d}y\textrm{d}x}[/tex].