Nattintegral

[Janhaa]

Kan man gå lei av dem?

Hehe...nei, du har helt rett. Er litt hekta på dem sjøl. Fin jobb igjen Jarle
Jeg skulle gjerne satt meg inn i andre "integrasjonsteknikker"; som derivasjon under integraltegnet, produktintegrasjon m. fl.
Men tida strekker ikke til, og dessuten underviser jeg > 100% matte på vgs (ikke alt like interessant).

OK, noch einmal

[tex]I=\int \frac{{\rm dx}}{\sinh(x)\,+\,2\cosh(x)}[/tex]

[Charlatan]

Vi skulle hatt en "skjul" funksjon, slik at andre kan velge å se om de vil ha svaret slik at de kan prøve selv.

[tex]I=\int \frac{\rm{d} x}{\sinh(x)+2\cosh(x)}[/tex]

[tex]I=\int \frac{2\cosh(x)-\sinh(x)}{4\cosh^2(x)-\sinh^2(x)} \ \rm{d} x[/tex]

[tex]4\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=3\cosh^2(x)+1=3\sinh^2(x)+4[/tex]

[tex]I=\int \frac{2\cosh(x)}{3\sinh^2(x)+4} \ \rm{d} x-\int \frac{\sinh(x)}{3\cosh^2(x)+1} \ \rm{d} x[/tex]

[tex]I_1=\int \frac{2\cosh(x)}{3\sinh^2(x)+4} \ \rm{d} x[/tex]

[tex]\frac{2}{\sqrt{3}}\sinh(u)=\sinh(x)[/tex]
[tex]\frac{2}{\sqrt{3}}\cosh(u)\rm{d}u=\cosh(x) \rm{d}x[/tex]

[tex]I_1= \int \frac{\cosh(u)}{\sqrt{3}(\sinh^2(u)+1)} \ \rm{d} x[/tex]

[tex]t=\sinh(u)[/tex]
[tex]\rm{d}t=\cosh(u)\rm{d}u[/tex]

[tex]I_1=\int \frac{1}{\sqrt{3}(t^2+1)} \ \rm{d} x[/tex]
[tex]I_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(t) + C_1[/tex]
[tex]I_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sinh(u))+C_1[/tex]
[tex]I_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\sinh(x))+C_1[/tex]

[tex]I_2=\int \frac{\sinh(x)}{3\cosh^2(x)+1} \ \rm{d} x[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{3}}\cosh(r)=\cosh(x)[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{3}}\sinh(r)\rm{d}r=\sinh(x) \rm{d}x[/tex]

[tex]I_2=\int \frac{\sinh(r)}{\sqrt{3}(\cosh^2(r)+1)} \ \rm{d} r[/tex]

[tex]\cosh(r)=V[/tex]
[tex]\sinh(r)\rm{d}r=\rm{d}V[/tex]

[tex]I_2=\int \frac{1}{\sqrt{3}(V^2+1)} \ \rm{d} V[/tex]
[tex]I_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(V) + C_2[/tex]
[tex]I_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\cosh(r)) + C_2[/tex]
[tex]I_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}\cosh(x)) + C_2[/tex]

[tex]I=I_1-I_2= \frac{1}{\sqrt{3}}[\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\sinh(x))-\arctan(\sqrt{3}\cosh(x))]+C[/tex]
Alternativt:
[tex]I=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2\sqrt{3}[\sinh(x)-2\cosh(x)]}{4+3\sinh(2x)})+C[/tex]
(Definer: [tex]\arctan(\infty)=\frac{\pi}{2})[/tex]

Kan man gjøre dette på en enklere måte?

[Janhaa]

Voldsomt arbeid igjen! Selve svaret kan nok forkortes når vi veit at;

[tex]\sinh(x)={1\over 2}(e^x\,-\,e^{-x})[/tex]
og
[tex]\cosh(x)={1\over 2}(e^x\,+\,e^{-x})[/tex]

Hvis du innfører dette i starten av integralet, så kan hele jobben forenkles
betraktelig...

[Charlatan]

At jeg ikke tenkte på det...

[Charlatan]

[tex]I=\int \frac{2e^x}{3e^{2x}+1} \rm{d} x[/tex]
[tex]u=e^x[/tex]
[tex]\rm{d} u=e^x\rm{d} x[/tex]

[tex]I=\int \frac{2}{3u^2+1} \rm{d} x[/tex]

[tex]u=\frac{1}{\sqrt{3}}\sinh(t)[/tex]
[tex]\rm{d} u = \frac{1}{\sqrt{3}}\cosh(t)\rm{d}t[/tex]
[tex]I= \int \frac{2\cosh(t)}{\sqrt{3}(\sinh^2(t)+1)} \rm{d} t[/tex]

[tex]\sinh(t) = r[/tex]
[tex]\cosh(t)=\rm{d}r[/tex]
[tex]I= \int \frac{2}{\sqrt{3}(r^2+1)} \rm{d} r[/tex]

[tex]I=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(r)+C[/tex]
[tex]I=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\sinh(t))+C[/tex]
[tex]I=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}u)+C[/tex]
[tex]I=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}e^x)+C[/tex]

Jeg tror jeg unødvening kompliserer ting noenganger...

[daofeishi]

Slenger inn ett til:

[tex]\int \frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x[/tex]

[orjan_s]

Slenger inn ett til:

[tex]\int \frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x[/tex]

Begynner med å se på

[tex]\frac{1}{\csc(x)-\sin(x)}=\frac{1}{1/\sin(x)-\sin(x)}=\frac{1}{\frac{1-\sin^2(x)}{\sin(x)}}=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\tan(x)\frac{1}{\cos(x)}=\tan(x)\sec(x)[/tex]

Vet at [tex]\frac{d}{dx}\sec(x)=\tan(x)\sec(x)[/tex]

Da blir

[tex]I=\int \ln(\sin(x))\cdot \frac{1}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x=\ln(sin(x))\cdot \sec(x)-\int \sec(x)\cdot \frac{\cos}{\sin(x)}\rm{d}x[/tex]

[tex]I=\int \ln(\sin(x))\cdot \frac{1}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x=\ln(sin(x))\cdot \sec(x)-\int \frac{1}{\sin(x)}\rm{d}x[/tex]

Det siste integralet er løst raskt her: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... c&start=15
ved hjelp av u=cos x og delbrøk..

Får da

[tex]I=\int \frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x=\ln(sin(x))\cdot \sec(x)-\ln|\frac{\sin({x\over 2})}{\cos({x\over 2})}|\,+\,C[/tex]

eller

[tex]I=\int \frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)-\sin(x)}\rm{d}x=\ln(sin(x))\cdot \sec(x)-\ln|\tan(\frac{x}{2})|\,+\,C[/tex]

[groupie]

Fra Cambridges opptakstest:

[tex]\int{\sqrt{\tan{(x)}} \rm{d}x[/tex]

[daofeishi]

Fra Cambridges opptakstest:

[tex]\int{\sqrt{\tan{(x)}} \rm{d}x[/tex]

Innfør substitusjonen [tex]u = \sqrt{\tan(x)}[/tex]. Da er [tex]x = \arctan(u^2)[/tex], og [tex]\rm{d}x = \frac{2u}{u^4+1} \rm{d}u[/tex]

Da blir integralet
[tex]\int \frac{2u^2}{u^4+1}\rm{d}u = \int \frac{2u^2}{u^4 + 2u^2 + 1 - 2u^2}\rm{d}u = \int \frac{2u^2}{(u^2+1)^2-(\sqrt 2 u)^2}\rm{d}u = \int \frac{2u^2}{(u^2 - \sqrt 2 u + 1)(u^2 + \sqrt 2 u + 1)}\rm{d}u \\ = \frac{1}{2\sqrt 2} \int \left( \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} - \frac{u}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} \right)\rm{d}u[/tex]


Tar de to leddene hver for seg:
[tex]\int \left( \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} \right) \rm{d}u = \int \left( \frac{u- \sqrt 2}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} + \frac{\sqrt 2}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} \right) \rm{d}u = \ln |u^2 - \sqrt 2 u + 1| + \int \frac{\sqrt 2}{(u-\frac{1}{\sqrt 2})^2 + (\frac{1}{\sqrt 2})^2} \rm{d}u \\ = \ln |u^2 - \sqrt 2 u + 1| + 2 \arctan(\sqrt 2 u -1) + C[/tex]


[tex]\int \left( \frac{u}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} \right) \rm{d}u = \int \left( \frac{u + \sqrt 2}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} - \frac{\sqrt 2}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} \right) \rm{d}u = \ln |u^2 + \sqrt 2 u + 1| - \int \frac{\sqrt 2}{(u+\frac{1}{\sqrt 2})^2 + (\frac{1}{\sqrt 2})^2} \rm{d}u \\ = \ln |u^2 + \sqrt 2 u + 1| - 2 \arctan(\sqrt 2 u +1) + C[/tex]

Så slår vi dette sammen:
[tex]\int \sqrt{\tan(x)} \rm{d}x = \frac{1}{2\sqrt 2}\ln |\tan(x) - \sqrt{2 \tan(x)} + 1| + \frac{1}{\sqrt 2} \arctan(\sqrt{2 \tan(x)} -1) - \frac{1}{2\sqrt 2}\ln |\tan(x) + \sqrt {2\tan(x)} + 1| +\frac{1}{\sqrt 2} \arctan(\sqrt{2\tan(x)} +1) + C \\ = \frac{1}{2\sqrt 2} \ln \left( \frac{\tan(x) - \sqrt{2 \tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2 \tan(x)+1} \right) + \frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\frac{\sqrt{2 \tan(x)}}{1 - \tan(x) }) +C[/tex]


... Med forbehold om feil.

[daofeishi]

En litt greiere en (dersom man ser trikset):

[tex]\int \frac{1}{\sin(2x) \sqrt{\ln(\tan(x))}}\rm{d}x[/tex]

[orjan_s]

En litt greiere en (dersom man ser trikset):

[tex]\int \frac{1}{\sin(2x) \sqrt{\ln(\tan(x))}}\rm{d}x[/tex]

Ja denne var ikke så ille..

Vet at [tex]\sin(2x)=\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}[/tex]

setter u=tan x, dx=du/(1+tan^2 x)

Får da

[tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{\rm{d}u}{u \sqrt{\ln(u)}[/tex]

setter v=ln u, du=u dv

[tex]I=\frac{1}{2}\int \frac{\rm{d}v}{ \sqrt{v}}=\sqrt{v}+C=\sqrt{\ln(u)}+C=\sqrt{\ln(\tan(x))+C[/tex]

[orjan_s]

En til:

[tex]I=\int \frac{\rm{d}t}{1-\tan^2(t)}[/tex]

[daofeishi]

Søt liten sak. Bruk substitusjonen [tex]x = \tan(t)[/tex]. Da er [tex] \rm{dt} = \frac{1}{x^2+1} \rm{d}x[/tex]

Vi får:

[tex]\int \frac{\rm{d}t}{1-\tan^2(t)} = \int \left( \frac{1}{1-x^2}\right) \left(\frac{1}{1+x^2} \right) \rm{d}x = \frac{1}{2 }\int \left( \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1-x^2} \right) \rm{d}x = \frac{1}{2} \left( \arctan(x) + \rm{arctanh}(x) \right) + C[/tex]

Som til slutt gir:
[tex]\int \frac{\rm{d}t}{1-\tan^2(t)} = \frac{1}{2} \left( t + \rm{arctanh}(\tan(t)) \right) + C[/tex]

[daofeishi]

Inspirert av Cambridge-oppgaven - Finn:

[tex]\int \sqrt[3]{\tan(x)} \rm{d}x[/tex]

[FredrikM]

Søt liten sak. Bruk substitusjonen [tex]x = \tan(t)[/tex]. Da er [tex] \rm{dt} = \frac{1}{x^2+1} \rm{d}x[/tex]

Vi får:

[tex]\int \frac{\rm{d}t}{1-\tan^2(t)} = \int \left( \frac{1}{1-x^2}\right) \left(\frac{1}{1+x^2} \right) \rm{d}x = \frac{1}{2 }\int \left( \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1-x^2} \right) \rm{d}x = \frac{1}{2} \left( \arctan(x) + \rm{arctanh}(x) \right) + C[/tex]

Som til slutt gir:
[tex]\int \frac{\rm{d}t}{1-\tan^2(t)} = \frac{1}{2} \left( t + \rm{arctanh}(\tan(t)) \right) + C[/tex]

Løste denne i går hjemme (har ennå ikke lært meg tex), og fikk et svar som så litt annerledes ut. Noe med 0.5x + sin 2x eller noe sånt. Brukte at [img]http://www.matematikk.net/cgi-bin/mimet ... -\tan^2(t)}[/img] er lik (cos x)[sup]2[/sup]