Trekantulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vis at for vinklene [tex]\alpha, \, \beta, \, \gamma[/tex] i en trekant gjelder det at [tex]\sin\frac\alpha2\sin\frac\beta2\sin\frac\gamma2\leq\frac18[/tex].
Ser ihvertfall at en likesidet trekant med vinklene, a,B,y=60 gir 1/8 fra det uttrykket du refererer til. sin(60/2)=1/2 som videre gir (1/2)^3=1/8
Dette er den største summen vinkelproduktet kan få.
har lite erfaring med slik "vis at"-føring, men ville kommentere.
Dette er den største summen vinkelproduktet kan få.
har lite erfaring med slik "vis at"-føring, men ville kommentere.
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Bare fint det! Det stemmer at den likesida trekanten gir likhet, og det er også eneste likheten vi får. Hvis noen har en lignende ulikhet hvor likhet ikke oppnås ved enten den likesida, en likebeint eller en rettvinkla trekant, vil jeg gjerne se den!
Jeg VET den er gammel, men kom tilfeldigvis over denne da jeg søkte etter noe, og det var en fin oppgave - så jeg bumper den.
Fra AM - GM, og deretter Jensens teorem har vi at [tex]_^3\sqrt{\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\beta}{2})\sin(\frac{\gamma}{2})} {\leq} \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})+\sin(\frac{\beta}{2})+\sin(\frac{\gamma}{2})}{3} \leq \sin(\frac{\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}}{3})=\sin(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{6})=\sin(30)=\frac{1}{2}[/tex]
Siden vinkelsummen i en trekant er 180 grader.
Dermed er [tex]\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\beta}{2})\sin(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex]
Fra AM - GM, og deretter Jensens teorem har vi at [tex]_^3\sqrt{\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\beta}{2})\sin(\frac{\gamma}{2})} {\leq} \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})+\sin(\frac{\beta}{2})+\sin(\frac{\gamma}{2})}{3} \leq \sin(\frac{\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}}{3})=\sin(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{6})=\sin(30)=\frac{1}{2}[/tex]
Siden vinkelsummen i en trekant er 180 grader.
Dermed er [tex]\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\beta}{2})\sin(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det fins vel neppe noen bedre løsning på den, bra! Klarer du å konstruere en oppfølger?
Minner kanskje ikke altfor mye om forrige oppgave, men var alt jeg kunne komme på.
Trekk en linje fra A og B i en trekant til de motstående sidene. Kall disse punktene de treffer siden i for D og E respektivt. Fra C trekker vi en linje gjennom skjæringspunktet mellom de to andre. Kall dette punktet F.
Vis at [tex]AE^2+CD^2+BF^2+\frac{1}{CE^2}+\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{AF^2} \geq 6[/tex]
Trekk en linje fra A og B i en trekant til de motstående sidene. Kall disse punktene de treffer siden i for D og E respektivt. Fra C trekker vi en linje gjennom skjæringspunktet mellom de to andre. Kall dette punktet F.
Vis at [tex]AE^2+CD^2+BF^2+\frac{1}{CE^2}+\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{AF^2} \geq 6[/tex]
Hurra for Cevas teorem
Vha. av QM-GM, får vi:
[tex]\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} ) \geq \sqrt[3]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]
Fra Cevas teorem vet vi at [tex]\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}=1[/tex], så vi får:
[tex]AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} \geq 6[/tex]
Vha. av QM-GM, får vi:
[tex]\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} ) \geq \sqrt[3]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]
Fra Cevas teorem vet vi at [tex]\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}=1[/tex], så vi får:
[tex]AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} \geq 6[/tex]
Neida, det skal det ikke. Jeg gikk rett fra
[tex]\sqrt{\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} )} \geq \sqrt[6]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]
til
[tex]\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} ) \geq \sqrt[3]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} )} \geq \sqrt[6]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]
til
[tex]\frac{1}{6}(AE^2 + CD^2 + BF^2 + \frac{1}{CE^2} + \frac{1}{BD^2} + \frac{1}{AF^2} ) \geq \sqrt[3]{\frac{AE}{CE} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BF}{AF}}[/tex]