Finn alle polynomer, [tex]p(x)[/tex], med reelle koeffisienter s.a.:
[tex]\,\,\,\,\,\,p\left( (x+1)^3 \right)=\left( p(x)+1 \right)^3[/tex]
Baltic Way 2008 oppg1
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]p(x)=x[/tex] stemmer ihvertfall...
Prøver meg med et forsøk på bevis...
La p(x) tilfredsstille ligningen og la p(0)=0. Jeg bruker induksjon for å vise at [tex]f(x)=p(x)-x[/tex] har uendelig mange røtter: Anta f(k)=0. Da er p(k)=k og videre [tex]p((k+1)^{3})=(p(k)+1)^{3}=(k+1)^3[/tex], så f((k+1)³)=0. f(0)=p(0)-0=0 så f(x) har uendelig mange røtter. Anta at p(x) har endelig grad M>1. Da har f(x) grad M. Et polynom av grad M har maks M røtter så vi får en motsigelse. Eneste mulighet er at f(x) er konstant lik 0 eller er et polynom av grad 1. Det siste er umulig siden det vil ha nøyaktig ett nullpunkt. f(x) må være identisk lik 0, og p(x)=x er eneste polynom som tilfredsstiller kravet.
La p(x) tilfredsstille ligningen og la p(0)=0. Jeg bruker induksjon for å vise at [tex]f(x)=p(x)-x[/tex] har uendelig mange røtter: Anta f(k)=0. Da er p(k)=k og videre [tex]p((k+1)^{3})=(p(k)+1)^{3}=(k+1)^3[/tex], så f((k+1)³)=0. f(0)=p(0)-0=0 så f(x) har uendelig mange røtter. Anta at p(x) har endelig grad M>1. Da har f(x) grad M. Et polynom av grad M har maks M røtter så vi får en motsigelse. Eneste mulighet er at f(x) er konstant lik 0 eller er et polynom av grad 1. Det siste er umulig siden det vil ha nøyaktig ett nullpunkt. f(x) må være identisk lik 0, og p(x)=x er eneste polynom som tilfredsstiller kravet.