Lineær linje

[Drezky]

Jeg vet denne har vært oppe før, men synes den var så artig at jeg legger ut oppgaven igjen:


En lineær linje stiger med 1 når x øker, og linja ligger [tex]2\sqrt{2}\:2[/tex] fra punktet [tex]P(1, 1)[/tex] . Bestem likningen til [tex]\ell[/tex]

[Eclipse]

Jeg vet denne har vært oppe før, men synes den var så artig at jeg legger ut oppgaven igjen:


En lineær linje stiger med 1 når x øker, og linja ligger [tex]2\sqrt{2}\:2[/tex] fra punktet [tex]P(1, 1)[/tex] . Bestem likningen til [tex]\ell[/tex]

Interessant oppgave... Antar at du mente [tex]2\sqrt{2}[/tex] og ikke [tex]4\sqrt{2}[/tex]

Hvis [tex]f'(x)=1[/tex] må [tex]f(x)=x+C[/tex] der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Vi vet at avstanden [tex]D[/tex] mellom linja og punktet [tex]P(1, 1)[/tex] er [tex]2*\sqrt{2}[/tex]
Siden [tex]D=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}[/tex] må [tex]2*\sqrt{2}[/tex]=[tex]\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}[/tex] som gir mulighetene:
[tex]x=-1, y=-1[/tex]
[tex]x=-1, y=3[/tex]
[tex]x=3, y=-1[/tex]
[tex]x=3, y=3[/tex]

"Linja ligger [tex]2\sqrt{2}[/tex] fra punktet...". Punktene [tex](-1, -1)[/tex] og [tex](3, 3)[/tex] ligger på samme linje gjennom [tex]P[/tex], så vi kan utelukke disse. Det betyr at vi har 2 løsninger igjen, punktene [tex](-1, 3)[/tex] og [tex](3, -1)[/tex]. Kaller punktet [tex](-1, 3)[/tex] for [tex]A[/tex] og punktet [tex](3, -1)[/tex] for [tex]B[/tex]. Vi vet at [tex]f'(x)=1[/tex], hvis [tex]f(x)[/tex] skal gå gjennom [tex](-1, 3)[/tex], tangerer den også y-aksen i [tex](0, 4)[/tex] som betyr at [tex]f(x)=x+4[/tex]. For å finne den andre løsningen speilvender vi bare [tex]f(x)[/tex] og får [tex]g(x)=x-4[/tex] siden [tex]|\vec{AP}|=|\vec{BP}|[/tex] og linjen gjennom [tex]P[/tex] står vinkelrett på [tex]f(x)[/tex](for å finne den korteste avstanden).

Viser at avstanden fra punktene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] på henholdsvis [tex]f(x)=x+4[/tex] og [tex]g(x)=x-4[/tex] til [tex]P[/tex] er [tex]2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{OA}[/tex]=[tex][-1, 3][/tex]
[tex]\vec{OP}=[1, 1][/tex]

[tex]\vec{AP}=\vec{AO}+\vec{OP}=[1, -3]+[1, 1]=[2, 2][/tex] som betyr at [tex]|\vec{AP}|=\sqrt{(2^2+2^2)}=2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{BP}=\vec{BO}+\vec{OP}[/tex][tex]=[-3, 1]+[1, 1]=[-2, 2][/tex] som betyr at også [tex]|\vec{BP}|=2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\ell=x+4[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]\ell=x-4[/tex]

Veldig tung framgangsmåte føler jeg, har du en enklere (og mer elegant) løsning?

[Drezky]

Interessant oppgave... Antar at du mente [tex]2\sqrt{2}[/tex] og ikke [tex]4\sqrt{2}[/tex]

Hvis [tex]f'(x)=1[/tex] må [tex]f(x)=x+C[/tex] der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Vi vet at avstanden [tex]D[/tex] mellom linja og punktet [tex]P(1, 1)[/tex] er [tex]2*\sqrt{2}[/tex]
Siden [tex]D=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}[/tex] må [tex]2*\sqrt{2}[/tex]=[tex]\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}[/tex] som gir mulighetene:
[tex]x=-1, y=-1[/tex]
[tex]x=-1, y=3[/tex]
[tex]x=3, y=-1[/tex]
[tex]x=3, y=3[/tex]

"Linja ligger [tex]2\sqrt{2}[/tex] fra punktet...". Punktene [tex](-1, -1)[/tex] og [tex](3, 3)[/tex] ligger på samme linje gjennom [tex]P[/tex], så vi kan utelukke disse. Det betyr at vi har 2 løsninger igjen, punktene [tex](-1, 3)[/tex] og [tex](3, -1)[/tex]. Kaller punktet [tex](-1, 3)[/tex] for [tex]A[/tex] og punktet [tex](3, -1)[/tex] for [tex]B[/tex]. Vi vet at [tex]f'(x)=1[/tex], hvis [tex]f(x)[/tex] skal gå gjennom [tex](-1, 3)[/tex], tangerer den også y-aksen i [tex](0, 4)[/tex] som betyr at [tex]f(x)=x+4[/tex]. For å finne den andre løsningen speilvender vi bare [tex]f(x)[/tex] og får [tex]g(x)=x-4[/tex] siden [tex]|\vec{AP}|=|\vec{BP}|[/tex] og linjen gjennom [tex]P[/tex] står vinkelrett på [tex]f(x)[/tex](for å finne den korteste avstanden).

Viser at avstanden fra punktene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] på henholdsvis [tex]f(x)=x+4[/tex] og [tex]g(x)=x-4[/tex] til [tex]P[/tex] er [tex]2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{OA}[/tex]=[tex][-1, 3][/tex]
[tex]\vec{OP}=[1, 1][/tex]

[tex]\vec{AP}=\vec{AO}+\vec{OP}=[1, -3]+[1, 1]=[2, 2][/tex] som betyr at [tex]|\vec{AP}|=\sqrt{(2^2+2^2)}=2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\vec{BP}=\vec{BO}+\vec{OP}[/tex][tex]=[-3, 1]+[1, 1]=[-2, 2][/tex] som betyr at også [tex]|\vec{BP}|=2\sqrt{2}[/tex]

[tex]\ell=x+4[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]\ell=x-4[/tex]
Veldig tung framgangsmåte føler jeg, har du en enklere (og mer elegant) løsning?

Hehe, var redd dette kommer til å skje.. Mente [tex]2\sqrt{2}2=2*2\sqrt{2}=4\sqrt{2}[/tex] (Jeg er enig at det var rart veldig rart formulert, men jeg måtte det for å unngå folk å søke i tråden etter oppgaven).

Så en linje med stigningstall 1 har en avstand på [tex]2\sqrt{2}2=2*2\sqrt{2}=4\sqrt{2}[/tex] fra punktet [tex](1, 1)[/tex]

Men på den andre siden så klarte du å løse den oppgaven du antok var problemstillingen =)

[Eclipse]

Ok. Hvis avstanden [tex]D=4\sqrt{2}[/tex] gir samme framgangsmåte [tex]\ell=x+8[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]\ell=x-8[/tex]
Stemmer det?

[stensrud]

Generelt vil linjene med stigningstall $1$ som har avstand $A$ til punktet $P=(1,1)$ være gitt ved
\[ y=x+A\sqrt{2} \quad \text{og}\quad y=x-A\sqrt{2} .\]
For å se det kan man tegne en normal fra $P$ på linja, og en linje fra $P$ parallell med $y$-aksen, og få en 45-90-45-trekant.

[Drezky]

Ok. Hvis avstanden [tex]D=4\sqrt{2}[/tex] gir samme framgangsmåte [tex]\ell=x+8[/tex] [tex]\wedge[/tex] [tex]\ell=x-8[/tex]
Stemmer det? :)

Jepp, vi feller en normal fra punktet [tex](0, b)[/tex] på [tex]\ell[/tex] slik at vi får en likebeint trekant hvor pytagoras gir: [tex]b^2=2*4\sqrt{2}*4\sqrt{2}=8^2\Longleftrightarrow\:b=\pm8[/tex]
Dette fordi [tex]y=x\:\parallel\:y=x+b[/tex]

Ergo:
[tex]\ell_1:y=x+8[/tex]
[tex]\ell_2:y=x-8[/tex]


Dette er en oppgave som kunne kommet på eksamen R1 vår. (Kanskje ikke like "ille" som oppgave 4 da)

EDIT: Så ikke stensrud sitt innlegg. Det var lurt!