Hvis X er en uniformt fordelt variabel på [0,1], vil også variabelen Y=1-X være uniformt fordelt på samme intervall. Dessuten vil summen X+Y=1 alltid være konstant.
Kan man finne 3 uniformt fordelte variable X, Y og Z på [0,1] slik at X+Y+Z er konstant?
Uniformt fordelte variable
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hentet liksågodt opp en gammel oppgave her. Er nå ikke fullstendig sikker på løsningen.
Siden [tex]E(X)=E(Y)=E(Z) = \frac12[/tex], så må [tex]E(X+Y+Z)=\frac32 \Rightarrow X+Y+Z = \frac32 \Rightarrow X+Y = \frac32 -Z[/tex]
Siden Z er uniform på [0,1], så er X+Y uniform på [tex][\frac12, \frac32][/tex].
Da skal [tex]P(X+Y \in [\frac12,x+\frac12]) = x[/tex] for alle [tex]x \in [0,1][/tex], men dersom [tex]x \leq \frac12[/tex]:
[tex]P(X+Y \in [\frac12,x+\frac12]) = \int ^{\frac12}_{0} P(Y \in [\frac12-t,\frac12+x-t] dt + \int ^{\frac12+x}_{\frac12} P(Y \in [0,\frac12+x-t] dt = \int ^{\frac12}_{0} x dt + \int ^{\frac12+x}_{\frac12} \frac12+x-t dt=\frac12 x +[(\frac12 +x)t-\frac12 t^2]^{\frac12+x}_{\frac12}=\frac{x(x+1)}{2}[/tex] som stemmer for noen [tex]x \in (0,\frac12][/tex], så slike variabler kan ikke finnes.
Siden [tex]E(X)=E(Y)=E(Z) = \frac12[/tex], så må [tex]E(X+Y+Z)=\frac32 \Rightarrow X+Y+Z = \frac32 \Rightarrow X+Y = \frac32 -Z[/tex]
Siden Z er uniform på [0,1], så er X+Y uniform på [tex][\frac12, \frac32][/tex].
Da skal [tex]P(X+Y \in [\frac12,x+\frac12]) = x[/tex] for alle [tex]x \in [0,1][/tex], men dersom [tex]x \leq \frac12[/tex]:
[tex]P(X+Y \in [\frac12,x+\frac12]) = \int ^{\frac12}_{0} P(Y \in [\frac12-t,\frac12+x-t] dt + \int ^{\frac12+x}_{\frac12} P(Y \in [0,\frac12+x-t] dt = \int ^{\frac12}_{0} x dt + \int ^{\frac12+x}_{\frac12} \frac12+x-t dt=\frac12 x +[(\frac12 +x)t-\frac12 t^2]^{\frac12+x}_{\frac12}=\frac{x(x+1)}{2}[/tex] som stemmer for noen [tex]x \in (0,\frac12][/tex], så slike variabler kan ikke finnes.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Argumentet etter at du antar x mindre eller lik 1/2 hadde holdt hvis X og Y var uavhengige variable, men det er de ikke nødvendigvis.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Nei. Det stemmer at Y ligger i et vilkårlig intervall av lengde x med sannsynlighet x hvis Y ikke avhenger av X, men det kan den godt gjøre. Kort sagt: [tex]P(Y\in[\frac12-t,\frac12-t+x])[/tex] trenger ikke være lik x som du har brukt i ditt argument.