matematikk.net

Janhaa skrev: ↑12/12-2021 19:14 Holder på med å finne volumet til ett champagne glass på tilt, dvs som er vippa. Se figur/fil.
Har regna meg fram til at fult glass har volum:

glasset beskrives med funksjonen [tex]y=\sqrt{2x/3}[/tex]

[tex]V=\pi \int_{0}^{6}y^2\, dx=(2/3)\pi \int_0^6\,x\, dx= 12\pi[/tex]

Nå lurer jeg på om volumet for glasset som er vippet er:

[tex]V=8\pi[/tex]
?

Kan det stemme.

Uansett, er d noen som gidder og hjelpe til med integraler/evt trippel-integraler,
For å vise om d stemmer.? Og da evt vise riktig framgangsmåte!

272130B3-D6C9-44A7-AB8B-A60C2A28A64A.jpeg

SpreVitenskapVidere skrev: ↑14/12-2021 01:03 Har prøvd å komme med noen ideer for å løse men får ikke $8 \pi$ som svar . Lenge siden eg jobbet med sånne integral oppgaver. Kanskje vi bør bruke polarkoordinater.
Ideen min er å transformere koordinatsystemet til og dermed glasset til horisontal stilling.

Vi har funksjonen for uvippet glass er :
$$(1)\quad y_1=\sqrt{\frac{2}{3}x_1}$$

Fra grafen har vi,
\begin{align*}
&x_1 =x\cdot cos(60^{\circ})=x\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\cdot x_1\\
&y_1=y\cdot cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot y\Rightarrow y=2\cdot y_1\\
\end{align*}
Vi setter utrykkene for $x_1$ og $y_1$ i (1) og får funksjonen for vippet glass $y_1$ ,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot y =\sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot x}\\
y=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}\cdot x}\\
\end{align*}
For å finne den nye volumet må vi finne de nye integrasjonsgrensene,
\begin{align*}
x_1=0\Rightarrow x=2\cdot x_1=0\\
x_1=6\Rightarrow x=2\cdot x_1=2\cdot 6=12\\
V_{Vippet Glass}=\pi \int_{0}^{12}y^2 dx=\pi\int_{0}^{12}4\cdot\frac{1}{3}\cdot xdx\\
=\frac{4\cdot \pi}{3}\int_{0}^{12} x dx=\frac{4\cdot\pi}{3}\cdot \Big[\frac{1}{2} x^2\Big]_{0}^{12}=96\pi
\end{align*}

fish skrev: ↑14/12-2021 11:21 Jeg kom til et resultat svært nær [tex]8\pi[/tex], men ikke eksakt lik. Muligens tungvint det jeg har gjort, men har ikke brukt så mye tid på det.

Det første jeg gjorde var å rette glasset opp, men der jeg tenker meg at sjampanjen er "fryst", slik at væskeoverflaten blir stående på skrå og danner 30 graders vinkel med horisontalen. Jeg legger inn en z-akse der du har x-akse. Overflaten til væsken kan da for eksempel representeres ved
et plan med normalvektor [tex]\vec N=[-1,0,\sqrt{3}][/tex]. Det høyeste punktet som væsken når i denne posisjonen, er [tex](2,0,6)[/tex], som dermed er et punkt i planet. Planlikningen blir altså [tex]-1\cdot(x-2)+\sqrt{3}\cdot(z-6)=0[/tex], slik at [tex]z=6-2/\sqrt{3}+x/\sqrt{3}[/tex]. Med mine valg av koordinater blir likningen for det opprettede glasset [tex]z=(3/2)(x^2+y^2)[/tex]. Hvis vi ser på skjæring mellom plan-likningen og glass-likningen (setter z=z), får vi etter litt omregning
[tex](x-\frac{1}{3\sqrt{3}})^2+y^2=(2-\frac{1}{3\sqrt{3}})^2=\frac{109-12\sqrt{3}}{27}[/tex].

Det ligger dermed an til å benytte polare koordinater for å finne volumet ved trippelintegrasjon:

Sett [tex]x'=x-\frac{1}{3\sqrt{3}}[/tex] og [tex]y'=y[/tex]. Sett så [tex]x'=r\cos\theta[/tex] og [tex]y'=r\sin\theta[/tex]. Den nedre grenseflaten (glasset) kan da uttrykkes ved [tex]z=z_1=(3/2)r^2+(1/\sqrt{3})r\cos\theta+1/18[/tex], mens den øvre får uttrykket [tex]z=z_2=(55-6\sqrt{3})/9+(1/\sqrt{3})r\cos\theta[/tex].

Volumet fremkommer derfor ved trippelintegralet

[tex]V=\int\limits_0^{2\pi}\int_0^{2-\frac{1}{3\sqrt{3}}}\int_{z_1}^{z_2}rdzdrd\theta=\pi\cdot\frac{12313-2616\sqrt{3}}{972}\approx 8.006\pi [/tex].

Jeg må ta alle mulige forbehold om feil.

Janhaa skrev: ↑14/12-2021 15:12

SpreVitenskapVidere skrev: ↑14/12-2021 01:03 Har prøvd å komme med noen ideer for å løse men får ikke $8 \pi$ som svar . Lenge siden eg jobbet med sånne integral oppgaver. Kanskje vi bør bruke polarkoordinater.
Ideen min er å transformere koordinatsystemet til og dermed glasset til horisontal stilling.

Vi har funksjonen for uvippet glass er :
$$(1)\quad y_1=\sqrt{\frac{2}{3}x_1}$$

Fra grafen har vi,
\begin{align*}
&x_1 =x\cdot cos(60^{\circ})=x\cdot\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\cdot x_1\\
&y_1=y\cdot cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot y\Rightarrow y=2\cdot y_1\\
\end{align*}
Vi setter utrykkene for $x_1$ og $y_1$ i (1) og får funksjonen for vippet glass $y_1$ ,
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot y =\sqrt{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot x}\\
y=2\cdot\sqrt{\frac{1}{3}\cdot x}\\
\end{align*}
For å finne den nye volumet må vi finne de nye integrasjonsgrensene,
\begin{align*}
x_1=0\Rightarrow x=2\cdot x_1=0\\
x_1=6\Rightarrow x=2\cdot x_1=2\cdot 6=12\\
V_{Vippet Glass}=\pi \int_{0}^{12}y^2 dx=\pi\int_{0}^{12}4\cdot\frac{1}{3}\cdot xdx\\
=\frac{4\cdot \pi}{3}\int_{0}^{12} x dx=\frac{4\cdot\pi}{3}\cdot \Big[\frac{1}{2} x^2\Big]_{0}^{12}=96\pi
\end{align*}

Hei, og takk for bidraget ditt.
Har ikke lagd oppg sjøl. Fant den og prøvde sjøl. Utregning av fult volum var lett. Imidlertid ble d problematisk når glasset var vippet.
Men jeg fant ut at V(vippa glass) ca = 8pi.
Så 1,5pi er i minste laget.

Ops, du redigerte og fikk 96pi på vippa glass. Jeg vet at V(fult glass)= 12pi = V1
Så V(champagne)=V(vippa glass) = V2 < V1
96pi er altfor mye.

Edit

Gustav skrev: ↑14/12-2021 19:11 Min løsning med trippelintegral uten polarkoordinater er som følger: (Ble noen stygge uttrykk så jeg har avrunda litt, men ser ut som jeg får det samme som fish.)

I 3-dimensjoner er radien $r$ til glasset som funksjon av $x$ gitt ved $r(x)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$. Glasset tilfredsstiller da $y^2+z^2=r^2=\frac{2x}{3}$, så $z^2=\frac{2x}{3}-y^2$.

Overflaten til sprudlevannet er gitt av $\vec{n}\cdot ((x,y)-(6,-2))=0$, der $\vec{n}=(\cos 30, \sin 30)$ er enhetsnormalvektoren til planet, så $ \cos 30 (x-6)+\sin 30 (y+2)=0$, $y=-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)$. For å finne den nedre integrasjonsgrensen til dx må vi løse $-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$, så $x = 1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})\approx 3.9128$.

Vi finner så volumet av glasset som ikke er fylt med sprudlevann: $V_0=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} \int_{-\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}}^{\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}} dzdydx=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} 2\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}dydx\approx 12.5471$.

Volumet av sprudlevannet blir til slutt $12\pi-V_0\approx 25.152\approx 8.006\pi$.

PS: Tror problemet med spreVitenskapVidere sin løsning er at den antar at tverrsnittene er disk-formet. Det hjelper ikke med koordinattransformasjoner da volumet av sprudlevannet uansett ikke vil bli symmetrisk nok til at integrasjonsgrensene forenkles betydelig.

Gustav skrev: ↑14/12-2021 19:11 Min løsning med trippelintegral uten polarkoordinater er som følger: (Ble noen stygge uttrykk så jeg har avrunda litt, men ser ut som jeg får det samme som fish.)

I 3-dimensjoner er radien $r$ til glasset som funksjon av $x$ gitt ved $r(x)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$. Glasset tilfredsstiller da $y^2+z^2=r^2=\frac{2x}{3}$, så $z^2=\frac{2x}{3}-y^2$.

Overflaten til sprudlevannet er gitt av $\vec{n}\cdot ((x,y)-(6,-2))=0$, der $\vec{n}=(\cos 30, \sin 30)$ er enhetsnormalvektoren til planet, så $ \cos 30 (x-6)+\sin 30 (y+2)=0$, $y=-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)$. For å finne den nedre integrasjonsgrensen til dx må vi løse $-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)=\sqrt{\frac{2x}{3}}$, så $x = 1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})\approx 3.9128$.

Vi finner så volumet av glasset som ikke er fylt med sprudlevann: $V_0=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} \int_{-\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}}^{\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}} dzdydx=\int_{1/9 (55 - 6 \sqrt{3} - \sqrt{109 - 12 \sqrt{3}})}^6 \int_{-\sqrt{3}x+2(3\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{\frac{2x}{3}}} 2\sqrt{\frac{2x}{3}-y^2}dydx\approx 12.5471$.

Volumet av sprudlevannet blir til slutt $12\pi-V_0\approx 25.152\approx 8.006\pi$.

PS: Tror problemet med spreVitenskapVidere sin løsning er at den antar at tverrsnittene er disk-formet. Det hjelper ikke med koordinattransformasjoner da volumet av sprudlevannet uansett ikke vil bli symmetrisk nok til at integrasjonsgrensene forenkles betydelig.

Janhaa skrev: ↑15/12-2021 12:44 Volumet av omdreiningslegemet er vel 1 paraboloide med ellipse grunnflate og høyde av vippa glass er h.

Kan der være mulig å finne volum med dette?
Ala;

[tex]V( sprudlevann)=\pi *a*b*h[/tex]

a; store halv-akse
b: lille. halv-akse