Trigonometrisk likning

[Egil Njål]

Likningen
√3 cos⁡ x + sin ⁡x = tan⁡ x, x∈(-π,π)
har to løsninger. Hva er eksaktverdiene?

[Egil Njål]

Likninger som inneholder sin⁡x,cos⁡x og tan⁡x kan ofte løses med substitusjonen
u= tan⁡〖x/2〗 der x∈(-π,π) og u∈R
Ved bruk av de grunnleggende trigonometriske identitetene får vi da
cos⁡x= (1- u^2)/(1+ u^2 ) ,sin⁡x= 2u/(1+ u^2 ) ,tan⁡x= 2u/(1- u^2 )
Ved å benytte disse substitusjonene i likningen
√3 cos⁡x+ sin⁡x- tan⁡x=0
får vi likningen
√(3 ) u^4-4 u^3-2√3 u^2+ √3=0
eller
√3 (u^2-1)^2=4 u^3
Denne har en løsning u_1= 1/√3 som gir løsningen x_1= π/3 .
Når vi har funnet en rot kan vi foreta en polynomdivisjon i 4. gradslikningen:
(√(3 ) u^4-4 u^3-2√3 u^2+ √3): (u- 1/√3)=√3 〖 u〗^3-3 u^2-3 √3 u-3
Da gjenstår å løse tredjegradslikningen
√3 〖 u〗^3-3 u^2-3 √3 u-3=0
Vi benytter substitusjonen u= √3 z og får likningen
z^3- z^2-z- 1/3=0
Den har en reell rot som vi finner med Cardanos formel:
z_2= 1/3 (1+ ∛2)^2 □(⇒┬ ) u_2= (1+ ∛2)^2/√3
Følgelig har vi de to eksakte løsningene til den opprinnelige likningen:
x_1= π/3 ≈1,0472
x_2=2 Arctan [(1+ ∛2)^2/√3] ≈2,48766