matematikk.net

Hei!
Jeg prøver å forstå meg på diofantiske likninger.
x+3y=35

Også står det så pent at her er det lett å se en løsning som funker, derfor bruker vi ikke algoritmer el.
Forslaget er x=23 og y=4.
Men, lett å se, kan være mye mer. Jeg ser for eksempel at x=32 og y=1 som en enda enklere løsning. Så hva er det meningen jeg skal tenke egentlig? x=29 og y=2 er jo også lett å se....

Gir alle disse variantene da like svar, til slutt? Eller?

Sliter med at det bare er en x også...for eksempel hvis jeg skal prøve euklids metode. Hvordan blir det da?

Forslaget er x=23 og y=4.
Men, lett å se, kan være mye mer. Jeg ser for eksempel at x=32 og y=1 som en enda enklere løsning. Så hva er det meningen jeg skal tenke egentlig? x=29 og y=2 er jo også lett å se....

Når man har lineære diofantiske likninger med små koeffisienter er det ofte lett å umiddelbart finne løsninger. Her er det spesielt lett, ettersom koeffisienten foran $x$ er 1: La $y$ være hvilket som helst heltall, og la $x$ være heltallet $35-3y$. Så her kan du tenke hvordan du vil, så lenge du finner en løsning.

Gir alle disse variantene da like svar, til slutt? Eller?

Ja, dersom målet ditt er å finne alle løsningene til den diofantiske ligningen. Hvis $(x_0, y_0)$ er en løsning til $ax+by=c$, så vil alle løsningene til likningen være på formen $(x, y) = (x_0 + bt/\gcd(a, b), y_0 - at/\gcd(a, b))$, der $t$ er et heltall. Det er altså likegyldig hvilken løsning $(x_0, y_0)$ du velger å bruke.