matematikk.net

Hei! Jeg jobber med Laplacetransformasjoner som verktøy til å løse initialverdiproblemer. Det går ganske greit, men på én spesifikk oppgave lurer jeg på om jeg gjør det unødvendig tungvint for meg selv. Jeg kom frem til rett svar til slutt, men det innebærte en del bokføring jeg kanskje (kanskje ikke) kunne spart meg for.

Helt spesifikt gjelder det følgende:
[tex]y'' - 3y' + 2y = 4t - 8, \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = 7[/tex].

Starten er greit nok, jeg druser på med transformasjoner på begge sider og får

[tex]Y(s) = \left(\frac{4}{s^2} - \frac{8}{s} + 2s + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{s^2 - 3s + 2} \right)[/tex],

som når jeg ordner litt opp og samler det (burde jeg det?) gir

[tex]Y(s) = \frac{2s^3 + s^2 - 8s + 4}{s^2 (s-1)(s-2)}[/tex].

Videre brukte jeg deloppspalting, ved å sette det på formen

[tex]\frac{2s^3 + s^2 - 8s + 4}{s^2 (s-1)(s-2)} = \frac{As + B}{s^2} + \frac{C}{s} + \frac{D}{s-1} + \frac{E}{s-2}[/tex].

Ved å gange opp fellesbrøk får jeg et ligningssystem, og ved å løse dette gjennom Gausseliminasjon får jeg endelig

[tex]Y(s) = \frac{2}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{s-1} + \frac{2}{s-2}[/tex],

og inverstransformen av hvert ledd gir meg til slutt

[tex]y(t) = 2t - 1 + e^t + 2e^{2t}[/tex].

Det er heldigvis korrekt, men poenget mitt er bare at det tok ganske lang tid å komme frem til det, med mye "kronglete" regning underveis hvor det er lett å gjøre små følgefeil. Er det et triks eller en snarvei underveis som jeg gikk glipp av, eller er dette rett og slett måten å gjøre det på?

ErikAndre skrev:[tex]Y(s) = \left(\frac{4}{s^2} - \frac{8}{s} + 2s + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{s^2 - 3s + 2} \right)[/tex],

som når jeg ordner litt opp og samler det (burde jeg det?)

En alternativ fremgangsmåte er kanskje å skrive:
$Y(s) = \left(\frac{4}{s^2} - \frac{8}{s} + 2s + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{s^2 - 3s + 2} \right)$

$Y(s) =\left(\frac{4}{s^2} - \frac{8}{s} + 2s + 1\right) \cdot \left(\frac 1{s-2} - \frac 1{s-1} \right)$

$Y(s) = \frac{4}{s^2} \cdot \left(\frac 1{s-2} - \frac 1{s-1} \right) - \frac{8}{s}\cdot \left(\frac 1{s-2} - \frac 1{s-1} \right) + 2s \cdot \left(\frac 1{s-2} - \frac 1{s-1} \right) + 1\cdot \left(\frac 1{s-2} - \frac 1{s-1} \right)$

$Y(s) = \frac{4}{s^2(s-2)} - \frac{4}{s^2(s-1)} + \ldots$

Det blir fortsatt mye å skrive, men det blir kanskje litt enklere å gjøre delbrøkoppspalting med denne metoden.

Håper noen andre her inne har et bedre svar.

ErikAndre skrev: [tex]Y(s) = \frac{2s^3 + s^2 - 8s + 4}{s^2 (s-1)(s-2)}[/tex].

Det er vel mindre regning å skrive dette som

$ \frac{2s^3 + s^2 - 8s + 4}{s^2 (s-1)(s-2)}=\frac{2s^3}{s^2 (s-1)(s-2)}+\frac{s^2}{s^2 (s-1)(s-2)}-\frac{8s}{s^2 (s-1)(s-2)}+\frac{4}{s^2 (s-1)(s-2)}$

$=\frac{2s}{(s-1)(s-2)}+\frac{1}{ (s-1)(s-2)}-\frac{8}{s (s-1)(s-2)}+\frac{4}{s^2 (s-1)(s-2)}$.

Her kan du bruke lineariteten til Laplacetransformen, altså finne transformen av hvert ledd og summere etterpå.

Det fins noen triks for å slippe å delbrøksoppspalte nevnerne, som er beskrevet i dette dokumentet: http://math.stanford.edu/~maksymr/laplace

Hva med denne fremgangsmåten?

La oss bruke identiteten [tex]y''(t) = \mathcal{L}^{-1}(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0))[/tex]

Vi kan da fjerne [tex]s^2[/tex] i nevner mot at vi får en ny funksjon [tex]U(s) = \frac{2s^3+s^2-8s+4}{s^2-3s+2} -2s -7[/tex]

Denne funksjonen har y''(t) som invers, så vi kan integrere to ganger for å få y(t).

Vi bruker polynomdivisjon på det første leddet på høyresiden og får [tex]U(s) = (\frac{9s-10}{(s-1)(s-2)} + 2s + 7) -2s -7 = \frac{9s-10}{(s-1)(s-2)}[/tex]-

Delbrøkoppspaltning gir [tex]U(s) = \frac{8}{s-2}+\frac{1}{s-1}[/tex].

Invers laplace av dette gir [tex]u(t) = 8e^{2t}+e^t[/tex]. Vi integrerer to ganger for å få y. [tex]\int \int u(t) = y(t) = 2e^{2t}+e^t+c_1t+c_2[/tex].

Konstantene finner vi fra initialbetingelsene, slik at svaret blir [tex]y(t)=2e^{2t}+e^t+2t-1[/tex].

Kult, takk for mange fine svar! Det virker som om det er mye bokføring uansett, men at man definitivt kan redusere de aller største ligningene til mindre problemer ved å være litt smart. En annen måte å starte oppdelingen som jeg fant er

[tex]\frac{2s^3+s^2-8s+4}{s^2(s-1)(s-2)} = \frac{s^2(2s+1)-8(s-1) + 4 - 8}{s^2(s-1)(s-2)} = \frac{2s+1}{(s-1)(s-2)} - \frac{8}{s^2(s-2)} - \frac{4}{s^2(s-1)(s-2)}.[/tex]

@Gustav, man må vel fortsatt delbrøkoppspalte hvert enkeltledd? Jeg er i alle fall ikke dreven nok til å se inverstransformasjonene direkte der.