matematikk.net

På matteeksamen fikk vi en oppgave som følger:

Løs initialverdiproblemet: x^2y' + 2xy = lnx, y(1) = 2, der vi antar at x > 0

Jeg så på denne som en helt vanlig diff.likning og løste med integrerende faktor. I fasit har de brukt at (x^2y)' = x^2y'+2xy=lnx
og integrert med hensyn på x. Fasiten er y(x) = (1/x^2)(xlnx-x+3)

Jeg kan ikke huske å ha sett et initialverdiproblem løst på denne måten før, og skjønner ikke helt hva som er greia. Hvorfor blir det feil å løse dette som en vanlig diff.likning?

Du kan dele hele sulamitten med $x^2$ for å få ligningen på formen $y'+p(x)y=q(x)$, og deretter løse den med integrerende faktor. Fasiten har en enklere og mer elegant løsning, men begge er korrekte.

Det er altså ikke mulig å gå direkte på å gange alle leddene med e^x^2?

Har det kommet ut fasit allerede? Eventuelt link?

Metoden med integrerende faktor har som forutsetning at koeffisienten i y'-leddet er lik 1. Det betyr at du
må skrive likningen på forma

y' + p(x)[tex]\cdot[/tex] y = q(x)

før du multipliserer med integrerende faktor. Difflikninga du viser til vil da se slik ut:

y' + [tex]\frac{2}{x}[/tex][tex]\cdot[/tex]y = [tex]\frac{ln(x)}{x^2}[/tex]

Integrerende faktor = e[tex]^{\int \frac{2}{x}dx}[/tex] = e[tex]^{2\cdot ln(x))}[/tex] = e[tex]^{ln(x^2)}[/tex] = x[tex]^2[/tex]

Når du så multipliserer med int. faktor , får du likninga

(y[tex]\cdot[/tex]x[tex]^2[/tex])' = ln(x)

V.S. i denne likninga kunne vi " se " direkte uten å gå veien om integrerende faktor ( fasit som du viser til har
brukt "snarveien" og dermed spart noe tid for å løse problemet )

TRCD skrev:Har det kommet ut fasit allerede? Eventuelt link?

En idé kan være å sjekke emnesiden. Her er det jeg fant https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... _2017h.pdf

OYV skrev:Metoden med integrerende faktor har som forutsetning at koeffisienten i y'-leddet er lik 1. Det betyr at du
må skrive likningen på forma

y' + p(x)[tex]\cdot[/tex] y = q(x)

før du multipliserer med integrerende faktor. Difflikninga du viser til vil da se slik ut:

y' + [tex]\frac{2}{x}[/tex][tex]\cdot[/tex]y = [tex]\frac{ln(x)}{x^2}[/tex]

Integrerende faktor = e[tex]^{\int \frac{2}{x}dx}[/tex] = e[tex]^{2\cdot ln(x))}[/tex] = e[tex]^{ln(x^2)}[/tex] = x[tex]^2[/tex]

Når du så multipliserer med int. faktor , får du likninga

(y[tex]\cdot[/tex]x[tex]^2[/tex])' = ln(x)

V.S. i denne likninga kunne vi " se " direkte uten å gå veien om integrerende faktor ( fasit som du viser til har
brukt "snarveien" og dermed spart noe tid for å løse problemet )

Mange takk, det var jeg faktisk ikke klar over!