Konvergerer summen?

[Gjest]

[tex]\sum_{n=0}^\infty n!*e^{-n}[/tex]

Jeg brukte forholdstesten, og fikk at summen er lik [tex]e^{-1}[/tex]. Dvs. at den konvergerer, men fasitsvaret er at den divergerer. Det var en eksamenoppgave, så jeg ser at jeg hadde stolt blindt på testen og fått feil.

Er det ikke nok med testen, eller må vi også teste med noen tall, for å se om summen går over 1.
Hvis jeg putter inn noen tall for n: [tex]n=1,2,3,4 osv[/tex], ser jeg at L>1 jo høyere tall jeg får på n. På grunnlag av det, kan man konkludere med at den divergerer?

[Aleks855]

Vi kan se at rekka divergerer ved å se på produktet for en arbitrært stor $n$.

$\frac{n!}{e^n}=\underbrace{\left(\frac{1}{e}\right)\cdot\left(\frac{2}{e}\right)}_{<1}\cdot \underbrace{\left(\frac{3}{e}\right)\cdot\left(\frac{4}{e}\right)\cdot\left(\frac{5}{e}\right)\ldots \left(\frac{n-1}{e}\right)\cdot\left(\frac{n}{e}\right)}_{>1}\to \infty$

[DennisChristensen]

[tex]\sum_{n=0}^\infty n!*e^{-n}[/tex]

Jeg brukte forholdstesten, og fikk at summen er lik [tex]e^{-1}[/tex]. Dvs. at den konvergerer, men fasitsvaret er at den divergerer. Det var en eksamenoppgave, så jeg ser at jeg hadde stolt blindt på testen og fått feil.

Er det ikke nok med testen, eller må vi også teste med noen tall, for å se om summen går over 1.
Hvis jeg putter inn noen tall for n: [tex]n=1,2,3,4 osv[/tex], ser jeg at L>1 jo høyere tall jeg får på n. På grunnlag av det, kan man konkludere med at den divergerer?

Du kan fint bruke forholdstesten, så du må ha regnet feil. La $a_n = n!e^{-n}.$ Da får vi $$\large |\frac{a_{n+1}}{a_n}\large | = \frac{(n+1)! e^{-(n+1)}}{n!e^{-n}} = (n+1)e^{-1} \rightarrow \infty\text{ når }n\rightarrow\infty.$$ Dermed divergerer rekken.