matematikk.net

Hei, jeg sliter med oppgaven:

"Finn grenseverdien
[tex]\lim_{x->0}\frac{\int_{x^2}^{3x} ln(1+t^2)dt}{x^3}[/tex]
Svaret skal vera eit eksakt rasjonalt tal."
Det hintes om at man skal bruke analysens fundamentalsetning, men jeg er usikker på hvordan.
Noen som kan hjelpe med dette?

Hvis du bruker Hospitals regel, får du behov for å derivere teller og nevner med hensyn på x, og det er når telleren deriveres at fundamentalteoremet kommer inn. Dette teoremet sier jo at
[tex]\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)[/tex] (når betingelsene er oppfylt). Når du skal derivere [tex]\int_{x^2}^{3x}\ln(1+t^2)dt[/tex], kommer også kjerneregelen inn. Etter å ha brukt Hospitals regel 1 gang, må prosedyren gjentas før man kommer til svaret.
Det vil nok derfor være atskillig mer lønnsomt med en rekkeutvikling av integranden og en ledd for ledd integrasjon i dette tilfellet. Det er jo bare leddet av laveste grad i telleren som bestemmer hva grenseverdien blir.

Det er relativt fort gjort å finne en antidrivert til integranden ved delvis integrasjon
Når du så regner ut det bestemte integralet, får du et ln-uttrykk og et arctan-uttrykk.
Disse kan rekkeutvikles og da er det tilstrekkelig å ta med x-leddet. Etterpå trekker du sammen ledda og deler det hele på
x^3 . Da ender du opp med uttrykket 27 - x[tex]^3[/tex] som åpenbart nærmer seg 27 når x går mot null.

Tok litt for lett på rekkeutviklingen av arctan-uttrykket:

arctan( 3x ) = 3x - (3x)[tex]^3[/tex]/3 + ........ + ledd av høyere orden

= 3x - 9x[tex]^3[/tex] + ledd av høyere orden

Når vi trekker sammen ledda og deler det hele på x[tex]^3[/tex], får vi

9 - x[tex]^3[/tex]

som går mot 9 når x går mot null.

P.S. Rekkeutvikling av integranden vil være en mye enklere løsning slik fish antydet i sitt innlegg.

Omskriv telleren til $\int_0^{3x}ln(1+t^2)dt-\int_0^{x^2}ln(1+t^2)dt$. Da kan du bruke fundamentalteoremet på hvert ledd etterhvert.