matematikk.net

Hei, jeg har denne oppgaven jeg sliter med, håper noen kan hjelpe meg!

"En funksjon f har maclaurinrekken

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6n }{(n+1)!}x^n[/tex]

Hva er [tex]f^{(26)}(0)[/tex] (altså den 26.-deriverte til f i 0)? Svaret ditt skal være et eksakt reelt tall"

Når $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 6n }{(n+1)!}x^n$, så kan vi derivere $f$ ved å derivere høyresiden ledd for ledd.

Når vi deriverer høyresiden 26 ganger, så vil alle leddene der $x$ene har grad 25 eller lavere forsvinne.

Leddet med grad 26 blir et konstantledd.

Leddene som hadde grad 27 eller høyere vil fortsatt ha en $x$ i seg. Når vi da setter $x=0$ inn i $f^{(26)}$ vil disse leddene bli null.

Altså:

$f^{(26)}(0) = \left( \frac{(-1)^{26} 6\cdot 26 }{(26+1)!}x^{26} \right)^{(26)} |_{x=0} = \frac{(-1)^{26} 6\cdot 26 }{(26+1)!}\cdot 26! = \frac{1 \cdot 6\cdot 26 }{27}|_{x=0} = \frac {52}9$

Jeg henger med, bortsett fra hvordan [tex]x^{26}[/tex] blir til [tex]26![/tex]?

$(x^n)^{\prime} = n x^{n-1}$

$(x^n)^{\prime \prime} = n(n-1)x^{n-2}$

...

$(x^n)^{(n)} = n!$

Ah jeg forstår! Tusen takk for gode svar!