matematikk.net

Hei!

Jeg sliter med å finne summen av rekken $\sum_{n=1}^{\infty} = \frac{2}{n \cdot 10^{n}}$

Jeg tenkte å utnytte at jeg kjenner summen:
$\sum_{n = 1}^{\infty} = n \cdot x ^ {n} = \frac{x}{(1-x)^2}$

ved å integrere den, dele den på x, integrere igjen, og dele på x igjen, for så å sette inn x = 1/10.

Da tenkte jeg at venstre side blir lik, og uttrykket på høyre side blir igjen svaret- Dessverre ender dette opp i et enormt clusterfuck av noen jævlige integral, noe WolframAlpha også bekrefter.

Hvordan skal jeg gå frem her?

På forhånd takk for hjelp!

Gjest skrev:Hei!

Jeg sliter med å finne summen av rekken $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n \cdot 10^{n}}$

La $f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.

$f'(x)=\frac{2}{x}\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{2}{x(1-x)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x-1}$

Gustav skrev:$f'(x)=\frac{2}{x}\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{2}{x(1-x)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x-1}$

[tex]f'(x)=2\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{2}{1-x},\quad |x|<1.[/tex]

fish skrev:

Gustav skrev:$f'(x)=\frac{2}{x}\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{2}{x(1-x)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x-1}$

[tex]f'(x)=2\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{2}{1-x},\quad |x|<1.[/tex]

Men hvordan kan det relateres til å finne summen av den gitte rekken i oppgaven? De uttrykkene ligner ikke?

fish skrev:

Gustav skrev:$f'(x)=\frac{2}{x}\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{2}{x(1-x)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x-1}$

[tex]f'(x)=2\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=\frac{2}{1-x},\quad |x|<1.[/tex]

Takk for korreksjonen. Ser ut som jeg overså summegrensen.

TIl gjest:

Vi ønsker å finne $f(\frac{1}{10})$. Fra det opprinnelige uttrykket ser vi først at $f(0)=0$. Dermed blir $f(x)=f(x)-f(0)=\int_0^x \frac{2}{1-y}\,dy$