matematikk.net

gitt f er en holomorf funksjon,

[tex]f:\mathbb{C}\,\,except\,\, \{-1+2i,-1,3\}[/tex]


[tex]f(z)=\frac{z^5-z^4-6z^3}{(z+1-2i)(z+1)^2(z-3)}[/tex]


lurer på disse to:

a)
Classify all isolated singularities of f and find the residue at each pole.

b)
Determine what sort of singularity f has at infinity.

Janhaa skrev:gitt f er en holomorf funksjon,

[tex]f:\mathbb{C}\,\,except\,\, \{-1+2i,-1,3\}[/tex]


[tex]f(z)=\frac{z^5-z^4-6z^3}{(z+1-2i)(z+1)^2(z-3)}[/tex]

Faktoriserer du telleren så får du vel $z^3(z-3)(z+2)$, så $z=3$ er en hevbar singularitet.

$z=-1$ og $z=-1+2i$ er poler av orden henholdsvis 2 og 1

På b) må du klassifisere singulariteten i $z=0$ til funksjonen $f(\frac{1}{z})$

Gustav skrev:

Janhaa skrev:gitt f er en holomorf funksjon,
[tex]f:\mathbb{C}\,\,except\,\, \{-1+2i,-1,3\}[/tex]
[tex]f(z)=\frac{z^5-z^4-6z^3}{(z+1-2i)(z+1)^2(z-3)}[/tex]

Faktoriserer du telleren så får du vel $z^3(z-3)(z+2)$, så $z=3$ er en hevbar singularitet.
$z=-1$ og $z=-1+2i$ er poler av orden henholdsvis 2 og 1
På b) må du klassifisere singulariteten i $z=0$ til funksjonen $f(\frac{1}{z})$

thanks;
gitt

[tex]f(z)=g(z)/h(z)[/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
3 er en "removable" singularity?
for evt beregning:
[tex]\frac{3^3*5}{4^2*(3-2i)}[/tex]

ang zo=-1 som pol med orden 2, så beregnes Res(f, -1) ved å derivere teller og nevner i f(z),
og sette inn z0=-1?

ang zo = -1 + 2i som pol med orden 1, bestemmes Res(f, -1+2i)
ved enten:

[tex]\lim_{z =-1+2i}\frac{z^3(z+2)}{(z+1)^2}\\ eller\\ \lim_{z =-1+2i}\frac{z^3(z+2)}{2(z+1)}[/tex]

https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_( ... _analysis)

i følge wiki-artikkelen, ser jeg på eksemplet med simple poles.
Hvem er riktig, og hvorfor?