matematikk.net

gitt

[tex]f(z)=\lg(x^2+y^2)+2i\cdot \arctan(y/x)[/tex]

kan [tex]f(z)\,[/tex]identifiseres med en kjent analytisk funksjon?

Janhaa skrev:gitt

[tex]f(z)=\lg(x^2+y^2)+2i\cdot \arctan(y/x)[/tex]

kan [tex]f(z)\,[/tex]identifiseres med en kjent analytisk funksjon?

Jeg regner med at "lg" egentlig skal være den naturlige logaritmen? Vi identifiserer $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ via $z =x + iy \sim (x,y)$. For å identifisere $f$ med en analytisk funksjon for $z \in \{w\in \mathbb{C} : x \neq 0 \}$ legger vi merke til at $$f(z) = \log\left(|z|^2\right) + 2i\text{arg}(z) = 2\log|z| + 2i\text{arg}(z) = 2L(z),$$ der $L(z)$ er den komplekse logaritmen. (merk deg at vi ikke trenger å velge noen definisjonsmengde for $\text{arg}(z)$ ettersom $f$ uansett kun er definert for $x\neq 0$.)

DennisChristensen skrev:

Janhaa skrev:gitt
[tex]f(z)=\lg(x^2+y^2)+2i\cdot \arctan(y/x)[/tex]
kan [tex]f(z)\,[/tex]identifiseres med en kjent analytisk funksjon?

Jeg regner med at "lg" egentlig skal være den naturlige logaritmen? Vi identifiserer $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ via $z =x + iy \sim (x,y)$. For å identifisere $f$ med en analytisk funksjon for $z \in \{w\in \mathbb{C} : x \neq 0 \}$ legger vi merke til at $$f(z) = \log\left(|z|^2\right) + 2i\text{arg}(z) = 2\log|z| + 2i\text{arg}(z) = 2L(z),$$ der $L(z)$ er den komplekse logaritmen. (merk deg at vi ikke trenger å velge noen definisjonsmengde for $\text{arg}(z)$ ettersom $f$ uansett kun er definert for $x\neq 0$.)

thanks