Konvergens

[Anonymbruker]

Sitter med denne oppgaven: https://imgur.com/a/6iybU

Brukte forholdstesten og fikk at lim-> (x/n) + (x/n^2) - > 0 = L, Siden L<1 kan vi si at rekka konvergerer. Det jeg er usikker på er om dette er riktig måte å gjøre det på da x er element i alle reelle tall (positive/negative).

Takker på forhånd!

[DennisChristensen]

Sitter med denne oppgaven: https://imgur.com/a/6iybU

Brukte forholdstesten og fikk at lim-> (x/n) + (x/n^2) - > 0 = L, Siden L<1 kan vi si at rekka konvergerer. Det jeg er usikker på er om dette er riktig måte å gjøre det på da x er element i alle reelle tall (positive/negative).

Takker på forhånd!

Først observerer vi at rekken konvergerer for $x=0$.
Gitt $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, la $a_n = \frac{n}{(n-1)!}x^n.$ Da har vi at $$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{(n+1)x^{n+1}(n-1)!}{n!\cdot nx^n}| = \frac{n+1}{n^2}|x| \rightarrow 0\text{ når }n\rightarrow\infty,$$ så forholdstesten gir at rekken konvergerer absolutt for alle $x\in\mathbb{R}$.

[Anonymbruker]

Sitter med denne oppgaven: https://imgur.com/a/6iybU

Brukte forholdstesten og fikk at lim-> (x/n) + (x/n^2) - > 0 = L, Siden L<1 kan vi si at rekka konvergerer. Det jeg er usikker på er om dette er riktig måte å gjøre det på da x er element i alle reelle tall (positive/negative).

Takker på forhånd!

Først observerer vi at rekken konvergerer for $x=0$.
Gitt $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, la $a_n = \frac{n}{(n-1)!}x^n.$ Da har vi at $$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{(n+1)x^{n+1}(n-1)!}{n!\cdot nx^n}| = \frac{n+1}{n^2}|x| \rightarrow 0\text{ når }n\rightarrow\infty,$$ så forholdstesten gir at rekken konvergerer absolutt for alle $x\in\mathbb{R}$.

Skjønte det var noe som manglet. Min utregning ga samme svar som deg bare at du stoppet på (n+1)/n^2 * |x|. Alt jeg manglet var å ha absoluttverdi rundt an+1/an.

[Markus]

$\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$

Av forholdstesten har vi at hvis $\lim_{n\to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} < 1$, konvergerer rekken.

Da må vi evaluere grenseverdien
$\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{((n+1)-1)!}x^{n+1}}{\frac{n}{(n-1)!}x^n}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{n!}}{\frac{n}{(n-1)!}} \cdot x^{n+1-n}} = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{n!}}{\frac{n}{(n-1)!}}} = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{ \frac{n+1}{n!} \cdot \frac{(n-1)!}{n} } = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{n+1}{n^2}}$

Siden $\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{n+1}{n^2}} = 0$ spiller det jo ingen rolle hvilken verdi $x$ har. Når $n \to \infty$ går den ene faktoren mot $0$ og da vil jo hele uttrykket gå mot $0$.

Edit: Dennis kom meg i forkjøpet mens jeg skrev ser jeg.

[Anonymbruker]

$\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$

Av forholdstesten har vi at hvis $\lim_{n\to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} < 1$, konvergerer rekken.

Da må vi evaluere grenseverdien
$\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{((n+1)-1)!}x^{n+1}}{\frac{n}{(n-1)!}x^n}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{n!}}{\frac{n}{(n-1)!}} \cdot x^{n+1-n}} = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{\frac{(n+1)}{n!}}{\frac{n}{(n-1)!}}} = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{ \frac{n+1}{n!} \cdot \frac{(n-1)!}{n} } = \abs{x} \cdot \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{n+1}{n^2}}$

Siden $\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{n+1}{n^2}} = 0$ spiller det jo ingen rolle hvilken verdi $x$ har. Når $n \to \infty$ går den ene faktoren mot $0$ og da vil jo hele uttrykket gå mot $0$.

Edit: Dennis kom meg i forkjøpet mens jeg skrev ser jeg.

Fantastisk at dere er så flinke til å svare og kommer med gode løsninger på problemet. Fin kommentar på slutten

[Gjest]

Kan dere hjelpe med neste deloppgave og? "Finn et endelig uttrykk for summen av potensrekken gitt i a" https://imgur.com/a/6iybU
Fasiten ligner på e^x ganget med noe.

[DennisChristensen]

Kan dere hjelpe med neste deloppgave og? "Finn et endelig uttrykk for summen av potensrekken gitt i a" https://imgur.com/a/6iybU
Fasiten ligner på e^x ganget med noe.

Ettersom potensrekken konvergerer absolutt for alle $x\in\mathbb{R}$ vet vi at uttrykket er deriverbart og at vi kan derivere ledd for ledd. Dermed: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n-1)!} = x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = x\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!} = x\frac{d}{dx}\left(x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right) = x\frac{d}{dx}\left(xe^x\right) = x\left(xe^x + e^x\right) = x(x+1)e^x.$$

[Gjest]

Kan dere hjelpe med neste deloppgave og? "Finn et endelig uttrykk for summen av potensrekken gitt i a" https://imgur.com/a/6iybU
Fasiten ligner på e^x ganget med noe.

Ettersom potensrekken konvergerer absolutt for alle $x\in\mathbb{R}$ vet vi at uttrykket er deriverbart og at vi kan derivere ledd for ledd. Dermed: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n-1)!} = x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = x\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!} = x\frac{d}{dx}\left(x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right) = x\frac{d}{dx}\left(xe^x\right) = x\left(xe^x + e^x\right) = x(x+1)e^x.$$

Tusen takk! Hvor får man e i (xe^x) fra? Altså hvordan gjør man dette? Har det noe navn/regel?
x\frac{d}{dx}\left(x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right) = x\frac{d}{dx}\left(xe^x\right)

[DennisChristensen]

Kan dere hjelpe med neste deloppgave og? "Finn et endelig uttrykk for summen av potensrekken gitt i a" https://imgur.com/a/6iybU
Fasiten ligner på e^x ganget med noe.

Ettersom potensrekken konvergerer absolutt for alle $x\in\mathbb{R}$ vet vi at uttrykket er deriverbart og at vi kan derivere ledd for ledd. Dermed: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n-1)!} = x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = x\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!} = x\frac{d}{dx}\left(x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right) = x\frac{d}{dx}\left(xe^x\right) = x\left(xe^x + e^x\right) = x(x+1)e^x.$$

Tusen takk! Hvor får man e i (xe^x) fra? Altså hvordan gjør man dette? Har det noe navn/regel?
x\frac{d}{dx}\left(x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right) = x\frac{d}{dx}\left(xe^x\right)

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ er potensrekken til $e^x$ per definisjon.

[Gjest]

Ah selvfølgelig, nå løsna det og ga mening! Du er et fantastisk individ!