matematikk.net

jeg prøver å løse dette integralet:

[tex]I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}\,dx[/tex]

På vanlig, klassisk måte går integrasjonen greit. Ubestemte I:

[tex]I=\frac{-x}{x^2+1}+c[/tex]

og innsatt grenser er I = 0
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Med kompleks intgrasjon:

[tex]I=\int_{0}^{\infty}\frac{z^2-1}{(z^2+1)^2}\,dz[/tex]

[tex]I=\int_{0}^{\infty}\frac{(z-1)(z+1)}{((z-i)(z+i))^2}\,dz[/tex]

ser at singularitene/polene er [tex]\,\,\pm i[/tex]

Men når jeg bruker residue theorem får jeg ikke dette riktig til.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Bruker jeg substitusjonen
[tex]z=e^{it}[/tex]
[tex]dz = i\cdot e^{it}\,dt[/tex]

fås sjølsagt en integrand med div u'er, og grensene fra 2 til 2.
Dette gir jo I = 0

Holder dette på eksamen i kompleks analyse?
Evt hvordan funker residue theorem her,
eller hvorfor funker det ikke?

Ifølge WolframAlpha er residyen i [tex]z=\mathrm{i}[/tex] lik null (http://www.wolframalpha.com/input/?i=re ... %5E2)+at+i), så residyeteoremet ser ut til å fungere (summere residyene i singularitetene inne i konturen fra [tex]-\infty[/tex] til [tex]\infty[/tex] og tilbake igjen i en halvsirkel).

Har du husket at [tex]z=\mathrm{i}[/tex] er en pol av andre orden, og ikke en simpel pol?

Residyen i slike singulariteter regnes enklest ut med https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_( ... rder_poles.

a100_sausages skrev:Ifølge WolframAlpha er residyen i [tex]z=\mathrm{i}[/tex] lik null (http://www.wolframalpha.com/input/?i=re ... %5E2)+at+i), så residyeteoremet ser ut til å fungere (summere residyene i singularitetene inne i konturen fra [tex]-\infty[/tex] til [tex]\infty[/tex] og tilbake igjen i en halvsirkel).
Har du husket at [tex]z=\mathrm{i}[/tex] er en pol av andre orden, og ikke en simpel pol?
Residyen i slike singulariteter regnes enklest ut med https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_( ... rder_poles.

takker for hjelpa.