integrasjon med e^-bx i brøk

[matteelev]

Hei. Jeg står virkelig fast i denne integrasjonen og lurer på om det er noen her som kan gi meg tips om hvordan jeg skal tenke, ikke nødvendigvis løsningen. Men vil gjerne forsøke å forstå fremgangsmåten så jeg lærer noe av det.

Jeg forsøker å finne det ubestemte integralet til uttrykket/brøken: (abe^(-bX)) / (a+e^(-bX))^2

a og b er i dette tilfellet positive konstanter. Uttrykket skal integreres med hensyn på X.

Ser nevner kan faktoriseres og strykes mot e^-bx i teller. Men det er kanskje en blindvei?
Tusen takk for ev. tips og råd!

[DennisChristensen]

Hei. Jeg står virkelig fast i denne integrasjonen og lurer på om det er noen her som kan gi meg tips om hvordan jeg skal tenke, ikke nødvendigvis løsningen. Men vil gjerne forsøke å forstå fremgangsmåten så jeg lærer noe av det.

Jeg forsøker å finne det ubestemte integralet til uttrykket/brøken: (abe^(-bX)) / (a+e^(-bX))^2

a og b er i dette tilfellet positive konstanter. Uttrykket skal integreres med hensyn på X.

Ser nevner kan faktoriseres og strykes mot e^-bx i teller. Men det er kanskje en blindvei?
Tusen takk for ev. tips og råd!

$$\int\frac{abe^{-bx}}{\left(a + b^{-bx}\right)^2} dx$$

La $u = a + e^{-bx}$. Da får vi at $du = -be^{-bx}dx$, så
$$\int\frac{abe^{-bx}}{\left(a + b^{-bx}\right)^2} dx = \int\frac{-a}{u^2}du = -a\int u^{-2} du = au^{-1} + C = a\left(a+e^{-bx}\right)^{-1} + C = \frac{a}{a+e^{-bx}} +C,$$
der $C\in\mathbb{R}$ er en konstant.

[matteelev]

Tusen hjertelig takk for din hjelp Dennis!

Det var tydelig og klar oppstilling. Kjempebra! Skjønte hva jeg gjorde feil Prøvde substitusjon først, men gjorde en tåpelig feil som fikk alt til å bli et sabla rot. Så begynte å lete etter alternative fremgangsmåter som heller ikke førte noe sted. Du er en reddende engel