Ulikhet og middelverdisetningen

[Stringselings]

[tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\ln(n+1)[/tex]
Oppgaven er under kapittelet om middelverdisetningen i kalkulus, så jeg ønsker å bevise dette ved å bruke middelverdisetningen.
Noen ideer?
Har prøvd med [tex]f(x)=ln(x+1)[/tex] og valgt en [tex]c[/tex] slik at [tex]1<c<n[/tex]
[tex]f'(c)=\frac{f(n)-f(1)}{n-1}[/tex]

[OYV]

Kan ikke se hvordan middelverdisetningen kommer til anvendelse her. Men ulikheten er lett å vise
hvis vi innfører funksjonen f gitt ved

f(x) = [tex]\frac{1}{x}[/tex] , D[tex]_f[/tex] = [1, n+1]

Ledda i rekka svarer til en serie rektangel, alle med bredde lik 1 , som går fra x-aksen og opp til f-grafen.
Disse rektangla dekker en samlet flate som er større enn området mellom f-grafen og førsteaksen fra 1 til ( n + 1 ).
Arealet under f-grafen fra 1 til ( n + 1 ) er lik det bestemte integralet til f(x) fra 1 til (n + 1 ) = ln( n +1 ).
Dermed er ulikheten bevist.

[OYV]

Ved nærmere analyse av problemet innser jeg at middelverdisetningen kan brukes som verktøy for å løse
den aktuelle ulikheten. Løsningen blir da som følger:
Innfører hjelpefunksjonen

f(x) = ln(x) , D[tex]_f[/tex] = [1 , n +1 ]

Anvender middelverdisetningen på hvert av intervalla [1 , 2] , [2 , 3] , [3 , 4] ............., [n, n+1 ]. Da får vi disse
ulikhetene

[tex]\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}[/tex] = f'(c) = [tex]\frac{1}{c}[/tex] ( c ligger mellom 1 og 2)< 1

[tex]\frac{f(3) - f(2)}{3 - 2}[/tex] = f'(c) = [tex]\frac{1}{c}[/tex] (c ligger mellom 2 og 3) < 1/2
.
.
.[tex]\frac{f(n+1) - f(n)}{n+1 - n }[/tex] = f'(c) = 1/c ( c ligger mellom n og n+1) < 1/n

Står tilbake med ln(n + 1) når vi summerer alle ledda på venstre side . Dermed får vi at

ln(n + 1) < 1 + 1/2 + 1/3 + ......................+ 1/n (q.e.d)