matematikk.net

Hei. Nok en gang står jeg fast på en text oppgave diff likning.
Har prøvd alt mulig.
Oppgaven er:
I en tank med volum 500 liter er det ved tiden t=0 oppløst 300kg salt i 300 liter vann.
Vi leder saltoppløsning med konsentrasjon 0.5 kg salt per liter ned i tanken. Innstrømmningsfarten er 10 liter per minutt.
Vi regner med at saltoppløsningen i tanken er godt blandet (perfekt blanding)

Regn ut hvor mye salt det er i tanken når den blir helt full med saltoppløsning?

Ok. Så 0.5 Kg Salg ved 10 liter per minutt gir 5Kg salt per minutt

y' = 5 -

Så står jeg her fast. Har prøvd alt mulig. Klarer ikke få det rette svaret som skal være 320kg.

Takk for all hjelp.

iBrus

Har mistanke om at her mangler en opplysning . Ingenting renner ut, eller ?

OYV skrev:Har mistanke om at her mangler en opplysning . Ingenting renner ut, eller ?

Ja her er ut:
Vi leder også saltoppløsning ut av karet. Utstrømningsfarten er 6 liter per minutt.

iBrus

Netto væsketilførsel per minutt: Væske inn - væske ut = (10 - 6 ) liter = 4 liter

Etter t minutter inneholder karet ( 300 + 4t ) liter saltvann.

Set at karet inneholder y kg salt etter t minutter. Da er

y' = endring i saltinnhold per minutt = saltmengde som kommer inn - saltmengde som strømmer ut =

5 - [tex]\frac{6}{300 + 4t}[/tex]* y

Denne diffligningen løses ved å multiplisere med integrerende faktor

e^(det ubestemte integralet til [tex]\frac{6}{300 + 4t}[/tex] ) = [tex](50 + 2/3t)^{3/2}[/tex]

Dette er ikke en fullstendig løsning. Men du har i det minste noe å jobbe videre med . Lukke til !

I denne oppgaven må man finne integralet av 6/(300+4t).
Jeg fikk 3/2 ln(300+4t). Men matlab og dsolve, samt wolframalpha koker d ned til 3/2 ln(t+75). Dette fører til rett svar på oppgaven.

Men, jeg skjønner ikke at du kan dele ln leddet på 4 og forvente å få rett svar, for ln blir jo noe annet. Så hvorfor går dann?

Hei,

Du faktoriserer utrykket inne i logaritmefunksjonen. Altså at (4t + 300) = 4(t+75).
Bruk så reglene for logaritmen av et produkt, siden integralet er ubestemt vil konstanten du drar med deg "forsvinne" inn i den ukjente.

De to uttrykka
3/2*ln(300 + 4t) og 3/2* ln( 75 + t ) er like på en konstant nær (har samme derivert ).

Det betyr at ditt uttrykk gir samme svar som Matlab.

Viser til mitt forrige innlegg hvor jeg skrev at de to uttrykka 3/2* ln( 300 + 4t ) og 3/2*ln( 75 + t ) fører frem til
samme sluttresultat. Dette holder jeg fast ved. Samtidig må jeg innrømme at det vil være hensiktsmessig å omforme
og korte ned brøken før vi integrerer:

[tex]\frac{6}{300 + 4t}[/tex] = [tex]\frac{2 * 3}{2*2(75 + t )}[/tex] = [tex]\frac{3}{2(75 + t )}[/tex]

Talfaktoren i t-leddet inne i parantesen er lik 1 og da kan vi enkelt og greitt finne det ubestemte integralet:

Integraltegn ([tex]\frac{3}{2( 75 + t )}[/tex] ) dt = [tex]\frac{3}{2}[/tex] * ln( 75 + t ) + C

Supplement til forrige innlegg:

Uttrykket [tex]\frac{3}{2}[/tex]ln( 75 + t ) forenkler i noen grad det videre regnearbeidet , men som sagt blir sluttresultatet
det samme enten vi bruker det ene eller det andre. For ordens skyld viser jeg hva som skjer i fortsettelsen hvis vi bruker
førstnevnte uttrykk:

Integrerende faktor = e^([tex]\frac{3}{2}[/tex]ln( 75 + t ) ) = e^((ln( 75 + t )*[tex]\frac{3}{2}[/tex]) = ( 75 + t )[tex]^{3/2}[/tex]

Deretter mult. vi med integrerende faktor , og får denne difflikninga:

(y * (75 + t )[tex]^{3/2}[/tex])' = 5 * ln (75 + t )[tex]^{3/2}[/tex]

Da gjenstår å integrere opp begge sider , for deretter å løse ut y (mult. med ( 75 + t )[tex]^{-3/2}[/tex] ).
Så bestemmes konstanten C ut fra startbetingelsen : y( 0 ) = 300