matematikk.net

Hei. Har følgende oppgave i boka:

Ved tiden t=0 inneholder en tank 25kg salt oppløst i 500 liter vann.
Vi sender så en saltoppløsning med konsentrasjon på 4kg salt per 10 liter inn i tanken.
Innstrømningshastigheten er 10 liter per minutt.
Det renner væske ut av tanken med samme hastighet.

a) Hvor mye salt er det i tanken ved et vilkårlig tidspunkt t?
Her sliter jeg med å overføre informasjon til likning.
Jeg tenker noe sånt som S' = (0.05+0.04t-xt)S, men det blir bare feil.

Løsningen er:
S=200-175e^(-0.02t)

Kan noen hjelpe sette opp likningen som fører til dette? Hvordan tenker man?

Takk
iBrus

Set at bassenget inneheld y kg salt på eit vilkårleg tidspunkt t.

Da er

y' = endring i saltinnhald per minutt = saltmengde som tilførast bassenget - saltmengde som går ut

= 4 - [tex]\frac{10 liter}{500 liter}[/tex]*y

som gir difflikninga

y' = 4 - [tex]\frac{1}{50}*y[/tex]

LøsODE (y' = 4 - [tex]\frac{1} {50} y[/tex] , (0 . 25 ) ) gir

y = .................... Prøv sjølv !

OYV:
Takk for hjelpen.
Hvis jeg løser diff lik. som separabel får jeg: y(t)=200-175e^t
Hvis jeg løser diff lik. ordinært får jeg: y(t)=200-175e^(-0.02t) (samme som boka)

Begge løsninger er riktige ved y(0).

Siden diff lik. kan gi et sett med likninger som svar antar jeg at begge er riktige, eller?

Er det noe som tilsier at jeg ikke skal løse den som separabel? Bør man gjør det på begge måter alltid?

iBrus

Takk for tilbakemelding. Du har valt å løse den aktuelle difflikninga "for hånd" . Det kan du gjøre på vanlig måte
ved å multiplisere med integrerende faktor eller du kan løse den som en separabel difflikning.
I begge tilfella ender du opp med samme resultat.

Viss vi velger den siste metoden , kan vi bruke denne fremgangsmåten:

[tex]\frac {dy}{dt}[/tex] = y' = 4 - 0.02y = -0.02(y - 200)

For å "separere" y-delen multipliserer vi med [tex]\frac{dt} {y - 200}[/tex] på begge sider og får


[tex]\frac{dy} {y -200}[/tex] =- 0-02dt

Nå gjenstår å integrere opp begge sider . Da ender vi opp med den allmenne løsningen

y - 200 = C* e^(-0.02t)

Konstanten C bestemmes ut fra startbetingelsen: y(0) = 25

Håper denne fremstillingen virker klargjørende.

OYV: Takk igjen.
Der ser jeg at jeg har tenkt feil ved løsning av separable diff ligninger. At jeg skal få samme svar var jeg ikke klar over. Takk for input.

iBrus