matematikk.net

if R is commutative ring, show that the sum of n nil ideals is also a nil ideal

gidder ikke å bevise at summen av to idealer er et ideal

ønsker å få sjekket om resten av beviset mitt holder:

La A og B være nil idealer

alle elementer i [tex]A+B[/tex] er på formen [tex]a+b[/tex] der [tex]a\in A[/tex] og [tex]b\in B[/tex]

fikserer [tex]a_{1}\in A[/tex] vet dermed at det eksisterer en[tex]n[/tex] slik at [tex]a^{n}=0[/tex]. jeg går deretter gjennom alle elementene i b. og for alle b eksisterer det en [tex]m[/tex] slik at [tex]b^{m}=0[/tex].

Siden R er kommutative vil [tex](a_{1}+b)^{n+m}=0[/tex] pga binomial theorem.

gjentar argumentet for alle [tex]a_{n}\in A[/tex] sammen med alle [tex]b \in B[/tex]

lar [tex]A+B=C[/tex], og gjentar argumentet for neste nil ideal i rekken osv...

stenvik team skrev:if R is commutative ring, show that the sum of n nil ideals is also a nil ideal

gidder ikke å bevise at summen av to idealer er et ideal

ønsker å få sjekket om resten av beviset mitt holder:

La A og B være nil idealer

alle elementer i [tex]A+B[/tex] er på formen [tex]a+b[/tex] der [tex]a\in A[/tex] og [tex]b\in B[/tex]

fikserer [tex]a_{1}\in A[/tex] vet dermed at det eksisterer en[tex]n[/tex] slik at [tex]a^{n}=0[/tex]. jeg går deretter gjennom alle elementene i b. og for alle b eksisterer det en [tex]m[/tex] slik at [tex]b^{m}=0[/tex].

Siden R er kommutative vil [tex](a_{1}+b)^{n+m}=0[/tex] pga binomial theorem.

gjentar argumentet for alle [tex]a_{n}\in A[/tex] sammen med alle [tex]b \in B[/tex]

lar [tex]A+B=C[/tex], og gjentar argumentet for neste nil ideal i rekken osv...

Du kan gjøre det hele litt enklere for deg selv: La $a + b \in A + B$. Vi vet at det finnes $m,n\in\mathbb{N}$ slik at $a^n = b^m = 0$. Dermed kan vi direkte bruke det binomiske teoremet til å se at ettersom $R$ er kommutativ, har vi at $$(a+b)^{m + n} = \sum_{k=0}^{m+n}{m+n \choose k}a^kb^{m+n-k} = 0,$$ så $A + B$ er nil.

takk for hjelpen