matematikk.net

Hei!
Jeg har en oppgave som jeg sitter helt fast på og håper noen kan vise hvordan man løser den, hadde vært super og satt pris på :

Oppgave 43 i)
Anta at [tex]\:z1, z2\:[/tex] er to forskjellige tall på enhetssirkel (som har |z|=1), slik at [tex]\: z_{1}\neq−z_{2}\:[/tex]. Vis ved en figur at tangentene gjennom [tex]\:z1, z2\:[/tex] skjærer hverandre i et punkt [tex]\: w \:[/tex], og forklar
hvorfor vi må anta at [tex]\: z_{1}\neq −z_{2}\:[/tex]. Vis at skjæringspunktet [tex]\: w \:[/tex] er gitt ved
[tex]w =\frac{2\cdot z1 \cdot z2}{ z1+z2}[/tex]
.

Har du forsøkt å tegne opp situasjonen som en figur?

Her kan du bruke informasjonen fra tidligere oppgave, nemlig at punktet $w$ på tangenten gjennom $z$ på enhetssirkelen tilfredsstiller $w+z^2\bar{w}=2z$.

Skjæringspunktet $w$ mellom de to tangentene må, siden det ligger på begge tangentene, derfor oppfylle følgende to likninger:

1. $w+z_1^2\bar{w}=2z_1$

2. $w+z_2^2\bar{w}=2z_2$

Eliminér $\bar{w}$ fra likningene for å finne et uttrykk for $w$.

please, kjære plutarco, kan du skissere det, please?

1. $w+z_1^2\bar{w}=2z_1$

2. $w+z_2^2\bar{w}=2z_2$

Gang likning 1) med $\frac{z_2}{z_1}$ og likning 2) med $\frac{z_1}{z_2}$:

1. $\frac{wz_2}{z_1}+z_1z_2\bar{w}=2z_2$

2. $\frac{wz_1}{z_2}+z_1z_2\bar{w}=2z_1$

1) - 2) gir at

$w(\frac{z_2}{z_1}-\frac{z_1}{z_2})=2(z_2-z_1)$

$w=\frac{2(z_2-z_1)}{\frac{z_2}{z_1}-\frac{z_1}{z_2}}=\frac{2z_1z_2(z_2-z_1)}{z_2^2-z_1^2}=\frac{2z_1z_2(z_2-z_1)}{(z_2-z_1)(z_1+z_2)}=\frac{2z_1z_2}{z_1+z_2}$.

Er det mulig å vise dette ved figur? Please, plutarco, kunne du vise det ved figur, jeg skjønner best ved figur, sånn geometrisk, for nå ser jeg bare algebra her please plutarco, please?