Oppgave 12.2.15 Kalkulus
Lagt inn: 28/05-2017 22:45
Hei!
Jeg har jobbet noe med oppgave 12.2.15 i Kalkulus av Tom Lindstrøm, 4.utgave.
Synes ikke at jeg har besvart siste del av oppgave e, oppgave f og oppgave g spesielt bra og ønsker derfor å se på et løsningsforslag. Dessverre finner jeg ikke løsningsforslag til denne oppgaven på nettet. Legger ut oppgaven her i tilfelle noen har lyst til å bidra med et løsningsforslag.
Oppgaven:
15. I denne oppgaven skal vi se på to tester som er forbedringer av forholdstesten-Raabes test og Gauss' test.
a) La $\alpha > 0$. Finn Taylor-polynomet til: $f(x) = \frac{1}{(1+x)^{\alpha}}$ av grad 1 om 0, og bruk det til å vise at: $\frac{1}{(1+x)^{\alpha}}>1-\alpha x$ for x>-1.
b) Anta at: $\lbrace a_n \rbrace$ er en følge av positive tall slik at: $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq (1-\frac{\alpha}{n})$ for alle n. (*)
Vis at $a_n \leq a_1/n^\alpha$ for alle $n$.
c) (Raabes test). Vis at dersom $\alpha > 1$, så konvergerer rekken $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ i (*). Vis også at dersom: $\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq (1-\frac{1}{n})$ for alle n, så divergerer $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
Gauss' test er en forbedring av Raabes test i det kritiske tilfellet $\alpha = 1$. Den sier at hvis $\lbrace a_n\rbrace$ er en positiv følge og det finnes tall M og s, s>1, slik at:
$\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq (1-\frac{1}{n}-\frac{M}{n^s})$ (**)
for alle n, så divergerer rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
Vi skal bevise testen ved å sammenligne $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ med den divergente rekken $\sum_{n=2}^{\infty}b_n$ der $b_n = \frac{1}{(n-1)ln(n-1)}$
d) Vis at $\sum_{n=2}^{\infty} b_n$ divergerer.
e) Vis at: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = (1-\frac{1}{n})(1+\frac{ln(1-\frac{1}{n})}{ln(n)})$ og vis også at dette medfører at $\frac{b_{n+1}}{b_n} \leq (1-\frac{1}{n}-\frac{M}{n^s})$ for alle tilstrekkelig store n og alle s>1.
f) Vis at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ i (**) divergerer.
g) Vis at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1*2*3*5*...*(2n-1)}{2*4*6*...*(2n)}\right)^k$ kovergerer hvis k>2 og divergerer hvis k<= 2.
Jeg har jobbet noe med oppgave 12.2.15 i Kalkulus av Tom Lindstrøm, 4.utgave.
Synes ikke at jeg har besvart siste del av oppgave e, oppgave f og oppgave g spesielt bra og ønsker derfor å se på et løsningsforslag. Dessverre finner jeg ikke løsningsforslag til denne oppgaven på nettet. Legger ut oppgaven her i tilfelle noen har lyst til å bidra med et løsningsforslag.
Oppgaven:
15. I denne oppgaven skal vi se på to tester som er forbedringer av forholdstesten-Raabes test og Gauss' test.
a) La $\alpha > 0$. Finn Taylor-polynomet til: $f(x) = \frac{1}{(1+x)^{\alpha}}$ av grad 1 om 0, og bruk det til å vise at: $\frac{1}{(1+x)^{\alpha}}>1-\alpha x$ for x>-1.
b) Anta at: $\lbrace a_n \rbrace$ er en følge av positive tall slik at: $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq (1-\frac{\alpha}{n})$ for alle n. (*)
Vis at $a_n \leq a_1/n^\alpha$ for alle $n$.
c) (Raabes test). Vis at dersom $\alpha > 1$, så konvergerer rekken $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ i (*). Vis også at dersom: $\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq (1-\frac{1}{n})$ for alle n, så divergerer $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
Gauss' test er en forbedring av Raabes test i det kritiske tilfellet $\alpha = 1$. Den sier at hvis $\lbrace a_n\rbrace$ er en positiv følge og det finnes tall M og s, s>1, slik at:
$\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq (1-\frac{1}{n}-\frac{M}{n^s})$ (**)
for alle n, så divergerer rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
Vi skal bevise testen ved å sammenligne $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ med den divergente rekken $\sum_{n=2}^{\infty}b_n$ der $b_n = \frac{1}{(n-1)ln(n-1)}$
d) Vis at $\sum_{n=2}^{\infty} b_n$ divergerer.
e) Vis at: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = (1-\frac{1}{n})(1+\frac{ln(1-\frac{1}{n})}{ln(n)})$ og vis også at dette medfører at $\frac{b_{n+1}}{b_n} \leq (1-\frac{1}{n}-\frac{M}{n^s})$ for alle tilstrekkelig store n og alle s>1.
f) Vis at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ i (**) divergerer.
g) Vis at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1*2*3*5*...*(2n-1)}{2*4*6*...*(2n)}\right)^k$ kovergerer hvis k>2 og divergerer hvis k<= 2.