matematikk.net

Jeg øver til eksamen i Analyse og lineær algebra, og sitter fast på 2 oppgaver. Håper noen kan hjelpe til!

Her er oppgavene: 5 a) Har jeg løst: Matrisen A er diagonaliserbar fordi den er symetrisk
5 b) Her har jeg satt [tex]det(A-\Lambda I) = 0[/tex] og funnet tre verdier for lambda: [tex]\Lambda {_1}=1[/tex] , [tex]\Lambda {_2}=7[/tex] og [tex]\Lambda {_3}=13[/tex]
. Jeg vet ikke hvordan jeg går videre.

På oppgave 5 c) og 6 er jeg blank.

Hadde satt stor pris på om noen kan hjelpe meg!

Noen som kan forklare?

5 b) Symmetriske matriser $A$ kan skrives på formen $P \Lambda P^T$, der $\Lambda$ er en diagonal matrise med egenverdiene til $A$ langs diagonalen, og $P$ er en ortogonal matrise som har egenvektorene til $A$ som kolonner. Plasseringen av kolonnene må samsvare med den korresponderende egenverdien i $\Lambda$. Du har funnet egenverdiene. Da gjenstår det bare å finne egenvektorene.

5 c) Denne er ganske rett frem hvis du vet hvordan du finner den adjungerte matrisen $adj(A)$, og determinanten $|A|$. Vet du hvordan du finner disse?

6) Alle kvadratiske former kan skrives på formen $x^T A x$, der $A$ er en symmetrisk matrise. I dette tilfellet kan den skrives på formen [tex]\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & \frac{a}{2} & 0 \\ \frac{a}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}[/tex]

Den kvadratiske formen er negativ definitt dersom alle egenverdiene til matrisen A er negative.

Egenverdiene kan finnes fra den karakteristiske ligningen:
[tex](b-\lambda)((-1-\lambda)(-2-\lambda)-\frac{a^2}{4}) = 0[/tex]

Her ser vi med en gang at en egenverdi er lik b. Vi ser derfor at b må være negativ.

Når det gjelder a ser vi at
[tex](-1-\lambda)(-2-\lambda) - \frac{a^2}{4} = 0[/tex], som kan skrives om til [tex]\lambda^2 + 3\lambda + \frac{1}{4}(8-a^2) = 0[/tex].

abc-formelen gir da [tex]\lambda = -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}[/tex]

Vi ser at den ene egenverdien alltid vil være negativ, og at den siste vil være negativ dersom [tex]\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1} < \frac{3}{2}[/tex], som gir at [tex]a^2 < 8[/tex].

Tusen takk for svar!

Et spørsmål til: hvordan kom du frem til den symmetriske matrisen i oppg. 6?

Kvadratiske former kan skrives slik: [tex]Q(\textbf{x}) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j[/tex], der $\{ a_{ij} \}$ er elementene til $A$ for posisjon (i,j).
Jeg fant dermed elementene ved direkte sammenligning, og ved å huske på at matrisen må være symmetrisk. Man må derfor ha to elementer som er [tex]\frac{a}{2}[/tex]

sbra skrev:Kvadratiske former kan skrives slik: [tex]Q(\textbf{x}) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j[/tex], der $\{ a_{ij} \}$ er elementene til $A$ for posisjon (i,j).
Jeg fant dermed elementene ved direkte sammenligning, og ved å huske på at matrisen må være symmetrisk. Man må derfor ha to elementer som er [tex]\frac{a}{2}[/tex]

Nå forstår jeg, igjen mange takk!

sbra skrev:
Her ser vi med en gang at en egenverdi er lik b. Vi ser derfor at b må være negativ.

Et spørsmål til. Jeg ser at en egenverdi er lik b, men hvorfor må da b være negativ?

Fordi alle egenverdiene må være negative for at den kvadratiske formen skal være negativ definitt.