Gruppeteori

[stensrud]

Hei, jeg leser https://math.la.asu.edu/~kawski/classes ... Cayley.pdf, og har litt problemer med å forstå beviset for det andre teoremet der (første side, ikke Cayleys teorem, men det neste). Det står at "The action of $G$ by left multiplication on $\mathcal{L}_H$ induces a map $\Phi:G\to S_{\mathcal{L}_H}\cong S_m$ via $\Phi(g)(aH)=(ga)H$."

Men hvordan funker egentlig $\Phi$? Siden kodomenet er en symmetrisk gruppe så regner jeg med at $\Phi(g),g\in G$ vil se ut som permutasjoner, altså noe sånt som $(1 3 4)(5 2)$. Når dette ganges med $(aH)$ så blir vel det som å permutere elementene i $aH$? Men hvordan kan en permutasjon av $aH$ sies å være lik $(ga)H$, når $aH$ og $H$ ikke nødvendigvis inneholder de samme elementene en gang?

Jeg er litt forvirret, så hadde satt utrolig stor pris på litt hjelp her.

[Gustav]

Det er bare notasjonen i notatet som er litt forvirrende. For hver $g\in G$ så vil $\Phi(g)$ ta $aH\to (ga)H\, \forall a\in G$. På den måten kan du se på $\Phi(g)$ som et element i den symmetriske gruppa $S_{\mathcal{L}_H}$.

[Gustav]

Men hvordan funker egentlig $\Phi$? Siden kodomenet er en symmetrisk gruppe så regner jeg med at $\Phi(g),g\in G$ vil se ut som permutasjoner, altså noe sånt som $(1 3 4)(5 2)$. Når dette ganges med $(aH)$ så blir vel det som å permutere elementene i $aH$? Men hvordan kan en permutasjon av $aH$ sies å være lik $(ga)H$, når $aH$ og $H$ ikke nødvendigvis inneholder de samme elementene en gang?

Jeg er litt forvirret, så hadde satt utrolig stor pris på litt hjelp her.

For ordens skyld:

Det er ikke snakk om en permutasjon av elementene innad i aH, men en permutasjon av kosettene i seg selv. Du har en gruppe G, som du deler inn i $m$ antall delmengder, kalt kosett, der hvert kosett inneholder |G|/m antall elementer. $\Phi(g)$ er en permutasjon av disse kosettene der kosett aH går til kosett (ga)H etc. Strengt tatt må man da vise at multiplikasjon med g faktisk er en permutasjon av kosettene: hvis aH og bH er to ulike kosett så må f.eks. (ga)H og (gb)H være to ulike kosett.

Edit: Hvis $\{a_1H, a_2H,...\}$ er kosettene, så er for enhver g i G $\{(ga_1)H, (ga_2)H,...\}$ en permutasjon av kosettene.

[stensrud]

Takker! Så hvis $\mathcal{L}_H=\{H_1,H_2,\dotsc,H_m\}$ er det basically det samme som at $\{ H_1,H_2,\dotsc,H_m \}\stackrel{\Phi(g)}{\mapsto}\{gH_1,gH_2,\dotsc,gH_m\}$? Eller i sykelnotasjon:
\[ \Phi(g) = \begin{pmatrix}
H_1&H_2&\dots&H_m\\
gH_1&gH_2&\dots&gH_m
\end{pmatrix} \]

[Gustav]

Takker! Så hvis $\mathcal{L}_H=\{H_1,H_2,\dotsc,H_m\}$ er det basically det samme som at $\{ H_1,H_2,\dotsc,H_m \}\stackrel{\Phi(g)}{\mapsto}\{gH_1,gH_2,\dotsc,gH_m\}$? Eller i sykelnotasjon:
\[ \Phi(g) = \begin{pmatrix}
H_1&H_2&\dots&H_m\\
gH_1&gH_2&\dots&gH_m
\end{pmatrix} \]

Ja, nettopp!