matematikk.net

Er f[tex]F(x)=ln(1+x)/x^2 og f(x)= ln(1+x)/x[/tex] uniformt kontinuerlig når x er mellom 0 og infinity? Hvordan beviser jeg det?

Ønsker å bruke definisjonen for å se om [tex]f(x)=\frac{ln(1+x)}{x^2}[/tex] er uniformt kontinuerlig.

Definisjon: Funksjon f er uniformt kontinuerlig på intervall I dersom det [tex]\forall \varepsilon >0 \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0[/tex] slik at [tex][\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta] \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon[/tex]

Så om vi velger [tex]x_1 = x+\frac{\delta}{2}, x_2 = x[/tex], så er [tex]|x_1-x_2|=|x+\frac{\delta}{2}-x|=\frac{\delta}{2}<\delta[/tex], og
[tex]|f(x_1)-f(x_2)|= |\frac{ln(x+\frac{\delta}{2}+1)}{(x+\frac{\delta}{2})^2}-\frac{ln(x+1)}{x^2}| <\varepsilon[/tex]. Dette skal gjelde [tex]\forall x \in I = (0,\infty )[/tex]. Så dersom jeg velger x slik at [tex]x\rightarrow 0[/tex], så får vi [tex]|\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{ln(x+\frac{\delta}{2}+1)}{(x+\frac{\delta}{2})^2}-\frac{ln(x+1)}{x^2})| = |\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{ln(x+\frac{\delta}{2}+1)}{(x+\frac{\delta}{2})^2} - \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{ln(x+1)}{x^2}|=|\frac{ln(1+\frac{\delta}{2})}{\frac{\delta^2}{4}}-\infty| = \infty < \varepsilon[/tex]

Ettersom vi ikke kan finne en [tex]\varepsilon>\infty[/tex], er ikke funksjonen uniformt kontinuerlig.

Hvordan går det uttrykket mot - infinity? vil ikke ln(x+1) gå mot 0 samtidig som x^2 går mot 0? og dermet går grensen mot 0?

Du har delvis riktig. [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}ln(x+1)=ln(1)=0[/tex] og [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}x^2=0^2=0[/tex], som du sier. Men ettersom vi ønsker å se hva som skjer når [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{ln(x+1)}{x^2}[/tex], så får vi situasjonen [tex]\frac{0}{0} \neq 1[/tex]. Derfor bruker vi l'Hôpitals regel for å finne grensen:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{ln(x+1)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x+1}}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{2x(x+1)} = \infty[/tex]

Aha! Tusen takk for hjelpen kan jeg bruke tilavarende metode for å vise at den andre funksjonen ikke er uniformt kontinuerlig?

Hvis jeg ikke tar helt feil er [tex]\frac{ln(x+1)}{x}[/tex] uniformt kontinuerlig på [tex](0,\infty)[/tex]. Kan i tilfelle vises ganske greit ved å bruke kjente faktum om uniform kontinuitet.