Gruppehomomorfi
Lagt inn: 13/03-2017 16:26
Gitt følgende oppgave ($G$ er en gruppe): Consider the map $\phi:G\to \operatorname{Aut}(G)$ defined by $\phi(g)=\varphi_g$, where $\varphi_g$ is the automorphism of $G$ defined by $\varphi_g(h)=ghg^{-1}$. Prove that $\phi$ is a homomorphism.
Dette er vel det samme som å vise at
\[ \phi(gf)=\phi(g)\phi(f) \]
for alle $g,f\in G$? Jeg antar at operasjonen i automorfigruppa er funksjonskomposisjon, men da er det over ekvivalent med
\[ \varphi_{gf} = \varphi_g\circ\varphi_f, \]
som holder hvis og bare hvis
\[gfhg^{-1}f^{-1}=\varphi_{gf}(h) = \varphi_g\circ\varphi_f(h)=gfhf^{-1}g^{-1}\iff g^{-1}f^{-1}=f^{-1}g^{-1}\]
for alle $h\in G$. Men ser ingen grunn til at dette skal holde generelt? Noen som kan forklare dette for meg?
Dette er vel det samme som å vise at
\[ \phi(gf)=\phi(g)\phi(f) \]
for alle $g,f\in G$? Jeg antar at operasjonen i automorfigruppa er funksjonskomposisjon, men da er det over ekvivalent med
\[ \varphi_{gf} = \varphi_g\circ\varphi_f, \]
som holder hvis og bare hvis
\[gfhg^{-1}f^{-1}=\varphi_{gf}(h) = \varphi_g\circ\varphi_f(h)=gfhf^{-1}g^{-1}\iff g^{-1}f^{-1}=f^{-1}g^{-1}\]
for alle $h\in G$. Men ser ingen grunn til at dette skal holde generelt? Noen som kan forklare dette for meg?