Gruppehomomorfi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gruppe

Gitt følgende oppgave ($G$ er en gruppe): Consider the map $\phi:G\to \operatorname{Aut}(G)$ defined by $\phi(g)=\varphi_g$, where $\varphi_g$ is the automorphism of $G$ defined by $\varphi_g(h)=ghg^{-1}$. Prove that $\phi$ is a homomorphism.

Dette er vel det samme som å vise at
\[ \phi(gf)=\phi(g)\phi(f) \]
for alle $g,f\in G$? Jeg antar at operasjonen i automorfigruppa er funksjonskomposisjon, men da er det over ekvivalent med
\[ \varphi_{gf} = \varphi_g\circ\varphi_f, \]
som holder hvis og bare hvis
\[gfhg^{-1}f^{-1}=\varphi_{gf}(h) = \varphi_g\circ\varphi_f(h)=gfhf^{-1}g^{-1}\iff g^{-1}f^{-1}=f^{-1}g^{-1}\]
for alle $h\in G$. Men ser ingen grunn til at dette skal holde generelt? Noen som kan forklare dette for meg?
Fibonacci92
Abel
Abel
Innlegg: 665
Registrert: 27/01-2007 22:55

Pass på !

$(gf)^{-1} = f^{-1}g^{-1}$
Svar